Resolva, em IR, as equações.
\left|\begin{array}{ccc}3 & x & -2 \\\ x+1 & 1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -1\end{array}\right|=-12

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se resolver, em \mathbb{R}, a equação que afirma que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 3 & x & -2\\[4pt] x+1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 2 & -1 \end{pmatrix}
é igual a -12.
  • Informação dada: a matriz acima tem uma entrada desconhecida x (real) e a igualdade
\left|\begin{array}{ccc} 3 & x & -2 \\\ x+1 & 1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right| = -12
deve ser satisfeita.]

Passo 2

Breve explicação (didática) de como calcular o determinante de uma matriz 3\times3:
  • Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
uma forma prática de calcular o determinante é a regra de Sarrus: somam-se os produtos das três diagonais que vão para baixo e à direita e subtraem-se os produtos das três diagonais que vão para baixo e à esquerda. Mais formalmente,
\det = a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
  • Nesta fórmula, cada letra representa a entrada correspondente da matriz (todas essas são expressões numéricas ou que dependem de x). Vou aplicar exatamente essa regra à matriz do problema.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz do enunciado.
Identificando as entradas:
a=3,\quad b=x,\quad c=-2,
d=x+1,\quad e=1,\quad f=1,
g=5,\quad h=2,\quad i=-1.
Agora calculo os produtos das três diagonais positivas:
a e i = 3\cdot1\cdot(-1) = -3,
b f g = x\cdot1\cdot5 = 5x,
c d h = (-2)\cdot(x+1)\cdot2 = -4(x+1) = -4x-4.
Somando essas três contribuições:
\text{soma\_positiva} = -3 + 5x -4x -4 = x -7.
Agora os produtos das três diagonais negativas:
c e g = (-2)\cdot1\cdot5 = -10,
a f h = 3\cdot1\cdot2 = 6,
b d i = x\cdot(x+1)\cdot(-1) = -x(x+1) = -x^2 - x.
Somando essas três contribuições:
\text{soma\_negativa} = -10 + 6 - x^2 - x = -x^2 - x -4.
Determinante (soma positiva menos soma negativa):
\det = \text{soma\_positiva} - \text{soma\_negativa} = (x-7) - (-x^2 - x -4).
Simplificando:
\det = x-7 + x^2 + x +4 = x^2 + 2x -3.
Portanto a expressão do determinante em função de x é
\left|\begin{array}{ccc} 3 & x & -2 \\\ x+1 & 1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right| = x^2 + 2x -3.

Passo 4

Traduzir a condição do enunciado para uma equação algébrica e simplificá-la:
A equação pedida é
x^2 + 2x -3 = -12.
Levo todos os termos para um lado:
x^2 + 2x -3 +12 = 0
x^2 + 2x +9 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática e interpretar o resultado (aula rápida sobre discriminante):
  • A equação geral a x^2 + b x + c = 0 tem discriminante \Delta = b^2 - 4ac. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais (apenas complexas).
Aqui a=1, b=2, c=9. Calculo o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot9 = 4 - 36 = -32.
Como \Delta = -32 < 0, a equação não tem soluções em \mathbb{R} (as raízes seriam complexas conjugadas). Portanto não existem valores reais de x que satisfaçam a igualdade do enunciado.

Passo 6

Conclusão final e comentário de incentivo:
  • Conclui-se que a condição requerida para o determinante leva a uma equação quadrática sem raízes reais, logo a equação dada não tem solução em \mathbb{R}.
Não desanime — é comum aparecerem determinantes que geram quadráticas sem raízes reais; o importante é seguir os passos e checar o discriminante como fizemos acima.

Resposta

Não existe solução em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados