Breve explicação (didática) de como calcular o determinante de uma matriz 3\times3:
Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
uma forma prática de calcular o determinante é a regra de Sarrus: somam-se os produtos das três diagonais que vão para baixo e à direita e subtraem-se os produtos das três diagonais que vão para baixo e à esquerda. Mais formalmente,
\det = a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Nesta fórmula, cada letra representa a entrada correspondente da matriz (todas essas são expressões numéricas ou que dependem de x). Vou aplicar exatamente essa regra à matriz do problema.
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus à matriz do enunciado.
Identificando as entradas:
a=3,\quad b=x,\quad c=-2,
d=x+1,\quad e=1,\quad f=1,
g=5,\quad h=2,\quad i=-1.
Agora calculo os produtos das três diagonais positivas:
a e i = 3\cdot1\cdot(-1) = -3,
b f g = x\cdot1\cdot5 = 5x,
c d h = (-2)\cdot(x+1)\cdot2 = -4(x+1) = -4x-4.
Somando essas três contribuições:
\text{soma\_positiva} = -3 + 5x -4x -4 = x -7.
Agora os produtos das três diagonais negativas:
c e g = (-2)\cdot1\cdot5 = -10,
a f h = 3\cdot1\cdot2 = 6,
b d i = x\cdot(x+1)\cdot(-1) = -x(x+1) = -x^2 - x.
Somando essas três contribuições:
\text{soma\_negativa} = -10 + 6 - x^2 - x = -x^2 - x -4.
Traduzir a condição do enunciado para uma equação algébrica e simplificá-la:
A equação pedida é
x^2 + 2x -3 = -12.
Levo todos os termos para um lado:
x^2 + 2x -3 +12 = 0
x^2 + 2x +9 = 0.
Passo 5
Resolver a equação quadrática e interpretar o resultado (aula rápida sobre discriminante):
A equação geral a x^2 + b x + c = 0 tem discriminante \Delta = b^2 - 4ac. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais (apenas complexas).
Como \Delta = -32 < 0, a equação não tem soluções em \mathbb{R} (as raízes seriam complexas conjugadas). Portanto não existem valores reais de x que satisfaçam a igualdade do enunciado.
Passo 6
Conclusão final e comentário de incentivo:
Conclui-se que a condição requerida para o determinante leva a uma equação quadrática sem raízes reais, logo a equação dada não tem solução em \mathbb{R}.
Não desanime — é comum aparecerem determinantes que geram quadráticas sem raízes reais; o importante é seguir os passos e checar o discriminante como fizemos acima.