Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Calcule as integrais: \iint_{D} y d A, onde D é a região acima da parábola y=x^{2} e abaixo da reta y=2 x+3.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dA,
onde D é a região limitada por cima pela reta y=2x+3 e por baixo pela parábola y=x^{2}. As perguntas que o problema faz são:
Determinar a região D (onde ficam os pontos (x,y) que satisfazem x^{2}\le y\le 2x+3).
Montar a integral dupla correspondente com limites corretos.
Calcular o valor numérico da integral.
Informações dadas:
Curva inferior: y=x^{2}.
Curva superior: y=2x+3.
A integral a calcular é \iint_{D} y\,dA.
Passo 2
Construção do gráfico (obrigatória). Como desenhar à mão, passo a passo:
Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
Trace a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), passa por (1,1), (-1,1), etc.; abre para cima.
Trace a reta y=2x+3: intercepto em y é 3 (ponto (0,3)), inclinação 2 (subir 2 ao avançar 1 em x); passe por (1,5), (-1,1).
Marque os pontos de interseção entre as duas curvas (serão as abscissas que limitam a região).
A região D é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, ou seja, para cada x entre as abscissas de interseção, y varia de y=x^{2} (embaixo) até y=2x+3 (acima).
Esse esboço ajuda a escolher a ordem de integração: como ambas as curvas são dadas explicitamente como y=f(x), é natural integrar primeiro em y (verticalmente) e depois em x.
Passo 3
Determinar as abscissas de interseção resolvendo a igualdade das curvas:
x^{2}=2x+3.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2}-2x-3=0.
Fatorando:
(x-3)(x+1)=0.
Portanto as interseções ocorrem em
x=-1\quad\text{e}\quad x=3.
Confirmando no gráfico: em x=0 a reta está acima da parábola (3>0), então entre -1 e 3 a reta é realmente o limite superior.
Passo 4
Montagem da integral dupla usando faixas verticais (integrar primeiro em y para cada x):
Explicando por que: para cada x fixo entre -1 e 3, y varia do valor da parábola (x^{2}) até o valor da reta (2x+3). Essa é a forma mais direta porque as fronteiras estão dadas como funções y=\cdot de x.
Passo 5
Calcular a integral interna \int_{y=x^{2}}^{2x+3} y\,dy. Lembrete da fórmula básica de integração:
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{1}{2}y^{2}, porque pela regra da potência \int y\,dy = \int y^{1}\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Aplicando isso com os limites:
Integrar termo a termo usando a regra da potência para integrais indefinidas: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aplicando a cada termo: