Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Calcule as integrais:
\iint_{D} y d A, onde D é a região acima da parábola y=x^{2} e abaixo da reta y=2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dA,
onde D é a região limitada por cima pela reta y=2x+3 e por baixo pela parábola y=x^{2}. As perguntas que o problema faz são:
  • Determinar a região D (onde ficam os pontos (x,y) que satisfazem x^{2}\le y\le 2x+3).
  • Montar a integral dupla correspondente com limites corretos.
  • Calcular o valor numérico da integral.
Informações dadas:
  • Curva inferior: y=x^{2}.
  • Curva superior: y=2x+3.
  • A integral a calcular é \iint_{D} y\,dA.

Passo 2

Construção do gráfico (obrigatória). Como desenhar à mão, passo a passo:
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  • Trace a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), passa por (1,1), (-1,1), etc.; abre para cima.
  • Trace a reta y=2x+3: intercepto em y é 3 (ponto (0,3)), inclinação 2 (subir 2 ao avançar 1 em x); passe por (1,5), (-1,1).
  • Marque os pontos de interseção entre as duas curvas (serão as abscissas que limitam a região).
  • A região D é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, ou seja, para cada x entre as abscissas de interseção, y varia de y=x^{2} (embaixo) até y=2x+3 (acima).
Esse esboço ajuda a escolher a ordem de integração: como ambas as curvas são dadas explicitamente como y=f(x), é natural integrar primeiro em y (verticalmente) e depois em x.

Passo 3

Determinar as abscissas de interseção resolvendo a igualdade das curvas:
x^{2}=2x+3.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2}-2x-3=0.
Fatorando:
(x-3)(x+1)=0.
Portanto as interseções ocorrem em
x=-1\quad\text{e}\quad x=3.
Confirmando no gráfico: em x=0 a reta está acima da parábola ( 3>0), então entre -1 e 3 a reta é realmente o limite superior.

Passo 4

Montagem da integral dupla usando faixas verticais (integrar primeiro em y para cada x):
\iint_{D} y\,dA=\int_{x=-1}^{3}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=2x+3} y\,dy\right)dx.
Explicando por que: para cada x fixo entre -1 e 3, y varia do valor da parábola ( x^{2}) até o valor da reta ( 2x+3). Essa é a forma mais direta porque as fronteiras estão dadas como funções y=\cdot de x.

Passo 5

Calcular a integral interna \int_{y=x^{2}}^{2x+3} y\,dy. Lembrete da fórmula básica de integração:
  • A primitiva de y em relação a y é \dfrac{1}{2}y^{2}, porque pela regra da potência \int y\,dy = \int y^{1}\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
    Aplicando isso com os limites:
\int_{y=x^{2}}^{2x+3} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{y=x^{2}}^{y=2x+3} = \frac{1}{2}\big((2x+3)^{2}-(x^{2})^{2}\big).

Passo 6

Simplificar a expressão obtida antes de integrar em x. Primeiro expandir (2x+3)^{2} e (x^{2})^{2}:
(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9, \qquad (x^{2})^{2}=x^{4}.
Então
\frac{1}{2}\big((2x+3)^{2}-x^{4}\big)=\frac{1}{2}\big(4x^{2}+12x+9 - x^{4}\big).
Distribuindo \tfrac{1}{2}:
-\frac{1}{2}x^{4}+2x^{2}+6x+\frac{9}{2}.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D} y\,dA=\int_{-1}^{3}\left(-\frac{1}{2}x^{4}+2x^{2}+6x+\frac{9}{2}\right)dx.

Passo 7

Integrar termo a termo usando a regra da potência para integrais indefinidas: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aplicando a cada termo:
  • \int -\dfrac{1}{2}x^{4}dx = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^{5}}{5} = -\dfrac{x^{5}}{10}.
  • \int 2x^{2}dx = 2\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{2}{3}x^{3}.
  • \int 6x\,dx = 6\cdot \dfrac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.
  • \int \dfrac{9}{2}\,dx = \dfrac{9}{2}x.
Portanto a primitiva completa é
F(x) = -\frac{x^{5}}{10}+\frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}+\frac{9}{2}x.
Devemos avaliar F(x) entre x=-1 e x=3.

Passo 8

Avaliar F(3) e F(-1) cuidadosamente, usando frações para evitar erros:
Calcule F(3):
-\frac{3^{5}}{10}+\frac{2}{3}\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{2}+\frac{9}{2}\cdot 3.
Passo a passo:
-\frac{243}{10} + \frac{2}{3}\cdot 27 + 3\cdot 9 + \frac{27}{2}.
-\frac{243}{10} + 18 + 27 + \frac{27}{2}.
Colocando em denominador comum 10:
-\frac{243}{10} + \frac{180}{10} + \frac{270}{10} + \frac{135}{10} = \frac{-243+180+270+135}{10} = \frac{342}{10} = \frac{171}{5}.
Calcule F(-1):
-\frac{(-1)^{5}}{10}+\frac{2}{3}(-1)^{3}+3(-1)^{2}+\frac{9}{2}(-1).
-\left(-\frac{1}{10}\right) + \frac{2}{3}(-1) + 3\cdot 1 - \frac{9}{2}.
\frac{1}{10} - \frac{2}{3} + 3 - \frac{9}{2}.
Colocando em denominador comum 30:
\frac{3}{30} - \frac{20}{30} + \frac{90}{30} - \frac{135}{30} = \frac{3-20+90-135}{30} = \frac{-62}{30} = -\frac{31}{15}.

Passo 9

Subtrair F(3)-F(-1) para obter o valor da integral:
\iint_{D} y\,dA = F(3)-F(-1) = \frac{171}{5} - \left(-\frac{31}{15}\right) = \frac{171}{5} + \frac{31}{15}.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{513}{15} + \frac{31}{15} = \frac{544}{15}.
Portanto o valor exato da integral é \dfrac{544}{15}. Em forma decimal isso é aproximadamente 36{,}266\ldots.

Resposta

\dfrac{544}{15}

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