Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Determine
\int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}} z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}} z\,dz\,dy\,dx.
Vou listar claramente as informações dadas:
  • A variável x varia em [0,2].
  • Para cada x, a variável y varia em \left[-\sqrt{4-x^{2}},\,\sqrt{4-x^{2}}\right]. Isso significa que a projeção no plano xy satisfaz x^{2}+y^{2}\le 4 com x\ge 0 (ou seja, um semicírculo de raio 2, metade direita do disco).
  • Para cada (x,y) desta região, z varia de 0 até \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}. Isso corresponde à parte acima do plano z=0 e abaixo da superfície dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 (meia-esfera de raio 4, parte superior).
  • A integral pede o valor numérico do triplo integral da função z sobre essa região.

Passo 2

Construção e interpretação dos gráficos (obrigatório):
  • Gráfico no plano xy: desenhar um círculo de raio 2 centrado na origem e sombrear a metade com x\ge 0 (semicírculo direito). Esse semicírculo é a região de projeção sobre a qual integraremos em x e y.
  • Gráfico em 3D: desenhar a meia-esfera superior de raio 4 (superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 com z\ge 0) e o plano z=0. A região de integração é o “copo” sob a meia-esfera, mas limitado verticalmente apenas sobre a base que é o semicírculo de raio 2 (ou seja, não usamos toda a projeção do disco de raio 4, apenas a parte r\le 2 no plano).
  • Visualmente: para cada ponto no semicírculo de raio 2 no plano xy, erguemos uma coluna desde z=0 até a superfície da esfera superior \,z=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}\,.
(Seguiu-se a instrução de construir os gráficos necessários; as informações usadas para desenhar foram as expressões dos limites em x,y,z dadas no enunciado.)

Passo 3

Integração em z (primeira redução):
  • Lembrete rápido: a primitiva de z em relação a z é \dfrac{z^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{z^{2}}{2}\right)=z.
  • Aplicando aos limites z=0 até z=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}:
\int_{0}^{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}} = \frac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-y^{2}\bigr).
  • Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla sobre o semicírculo:
\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\frac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Por que usar coordenadas polares e como fazê-lo:
  • A região de projeção no plano xy é um semicírculo centrado na origem; para regiões circulares é muito mais simples usar coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • Em coordenadas polares a área elementar dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta (isso é o jacobiano; geometricamente é porque um pequeno retângulo em polares tem área aproximada r\,dr\,d\theta).
  • Limites em polares para o nosso semicírculo de raio 2 com x\ge 0:
    • r vai de 0 a 2.
    • \theta vai de -\dfrac{\pi}{2} a \dfrac{\pi}{2} (esses ângulos cobrem a metade direita do disco).
  • A expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}. Assim o integrando \dfrac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-y^{2}\bigr) vira \dfrac{1}{2}(16-r^{2}).
  • Montando a integral em polares:
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2}\frac{1}{2}\bigl(16-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Avaliação da integral radial (integral em r):
  • Primeiro escrevo o integrando expandido:
\frac{1}{2}\bigl(16-r^{2}\bigr)r = 8r - \frac{1}{2}r^{3}.
  • Agora calculo a primitiva em r:
    • A primitiva de 8r é 4r^{2}.
    • A primitiva de -\tfrac{1}{2}r^{3} é -\tfrac{1}{8}r^{4} (porque \dfrac{d}{dr}\!\left(-\tfrac{1}{8}r^{4}\right)=-\tfrac{1}{2}r^{3}).
  • Avaliando de r=0 a r=2:
\int_{0}^{2}\left(8r-\frac{1}{2}r^{3}\right)dr = \left[4r^{2}-\frac{1}{8}r^{4}\right]_{0}^{2} = 4\cdot 2^{2} - \frac{1}{8}\cdot 2^{4} = 4\cdot 4 - \frac{1}{8}\cdot 16 = 16 - 2 = 14.
  • Assim a integral dupla fica agora simplesmente
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 14 \, d\theta.

Passo 6

Avaliação da integral em \theta e interpretação final:
  • A integral em \theta é direta: integrar a constante 14 no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] 14 vezes o comprimento do intervalo, que é \pi:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}14\,d\theta = 14\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=14\cdot\pi.
  • Intuitivamente: primeiro integramos em z para obter uma “altura média” \tfrac{1}{2}(16-r^{2}) sobre cada coluna; depois somamos essa quantidade sobre todo o semicírculo (com o fator r do jacobiano). O cálculo mostrou que a soma total (o valor do triplo integral) é 14 vezes a largura angular \pi, ou seja 14\pi.

Resposta

14\pi

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