Para cada x, a variável y varia em \left[-\sqrt{4-x^{2}},\,\sqrt{4-x^{2}}\right]. Isso significa que a projeção no plano xy satisfaz x^{2}+y^{2}\le 4 com x\ge 0 (ou seja, um semicírculo de raio 2, metade direita do disco).
Para cada (x,y) desta região, z varia de 0 até \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}. Isso corresponde à parte acima do plano z=0 e abaixo da superfície dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 (meia-esfera de raio 4, parte superior).
A integral pede o valor numérico do triplo integral da função z sobre essa região.
Passo 2
Construção e interpretação dos gráficos (obrigatório):
Gráfico no plano xy: desenhar um círculo de raio 2 centrado na origem e sombrear a metade com x\ge 0 (semicírculo direito). Esse semicírculo é a região de projeção sobre a qual integraremos em x e y.
Gráfico em 3D: desenhar a meia-esfera superior de raio 4 (superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 com z\ge 0) e o plano z=0. A região de integração é o “copo” sob a meia-esfera, mas limitado verticalmente apenas sobre a base que é o semicírculo de raio 2 (ou seja, não usamos toda a projeção do disco de raio 4, apenas a parte r\le 2 no plano).
Visualmente: para cada ponto no semicírculo de raio 2 no plano xy, erguemos uma coluna desde z=0 até a superfície da esfera superior \,z=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}\,.
(Seguiu-se a instrução de construir os gráficos necessários; as informações usadas para desenhar foram as expressões dos limites em x,y,z dadas no enunciado.)
Passo 3
Integração em z (primeira redução):
Lembrete rápido: a primitiva de z em relação a z é \dfrac{z^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{z^{2}}{2}\right)=z.
Aplicando aos limites z=0 até z=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}:
A região de projeção no plano xy é um semicírculo centrado na origem; para regiões circulares é muito mais simples usar coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
Em coordenadas polares a área elementar dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta (isso é o jacobiano; geometricamente é porque um pequeno retângulo em polares tem área aproximada r\,dr\,d\theta).
Limites em polares para o nosso semicírculo de raio 2 com x\ge 0:
r vai de 0 a 2.
\theta vai de -\dfrac{\pi}{2} a \dfrac{\pi}{2} (esses ângulos cobrem a metade direita do disco).
A expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}. Assim o integrando \dfrac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-y^{2}\bigr) vira \dfrac{1}{2}(16-r^{2}).
Avaliação da integral em \theta e interpretação final:
A integral em \theta é direta: integrar a constante 14 no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] dá 14 vezes o comprimento do intervalo, que é \pi:
Intuitivamente: primeiro integramos em z para obter uma “altura média” \tfrac{1}{2}(16-r^{2}) sobre cada coluna; depois somamos essa quantidade sobre todo o semicírculo (com o fator r do jacobiano). O cálculo mostrou que a soma total (o valor do triplo integral) é 14 vezes a largura angular \pi, ou seja 14\pi.