Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Um sólido E é feito de um material cuja densidade em cada ponto é igual à distância do ponto ao eixo z (em \mathbf{~ k g} / \mathbf{c m}^{3} ). O sólido E é a região dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Determine a massa do sólido.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar a massa do sólido E.
  • Dado: a densidade no ponto (x,y,z) vale exatamente a distância desse ponto ao eixo z. Portanto a densidade é
\rho(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(em \(\mathrm{kg/cm^{3}}\)).}
  • Descrição da região E:
    • Dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; (ou seja, projeção no plano xy é o disco de raio \,1),
    • Acima do plano z=0,
    • Abaixo do cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O que vamos calcular: a massa é a integral tripla da densidade sobre o volume E,
\text{massa}=\iiint_{E}\rho(x,y,z)\,dV.

Passo 2

Escolha das coordenadas e ideia principal (sem ainda calcular): \n
Como a região é circular em torno do eixo z e a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, é muito natural usar coordenadas cilíndricas. Vou explicar bem o sistema cilíndrico porque é essencial entender o porquê do fator extra que aparece no volume.
  • Coordenadas cilíndricas: definem-se
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z, e \theta é o ângulo polar.
  • Importante: a densidade \rho(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} transforma-se em \rho(r,\theta,z)=r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
  • Elemento de volume em cilíndricas: dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis; geometricamente ele aparece porque um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta (o arco tem comprimento r\,d\theta).
  • Logo, em cilíndricas o integrando \rho\,dV vira r\cdot (r\,dz\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Definir os limites de integração (explicando cada um): \n
  • Projeção no plano xy: dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le 1 significa 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. (Peguei esses limites do enunciado que deu o cilindro de raio 1.)
  • Em cada coluna com dado r, z varia de baixo para cima: do plano z=0 até o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Portanto 0\le z\le r.
  • Assim a integral da massa fica, em coordenadas cilíndricas:
\text{massa}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.
Expliquei: o r^{2} vem de r (densidade) vezes r (jacobiano).

Passo 4

Integrar em z primeiro (mostrando cada passo): \n
A integral interna é em z e o integrando r^{2} é constante em z. Então
\int_{0}^{r} r^{2}\,dz = r^{2}\cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{r}=r^{2}\cdot r = r^{3}.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
\text{massa}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em r: \n
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}.
Logo a integral torna-se
\text{massa}=\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{4}\,d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta e concluir (com análise de unidades e checagem rápida): \n
\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{4}\,d\theta = \dfrac{1}{4}\cdot\bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{2}.
Unidades: densidade em \mathrm{kg/cm^{3}} e volume em \mathrm{cm^{3}} implicam massa em \mathrm{kg}. Portanto o resultado final tem unidade \mathrm{kg}. \n
Checagem rápida de razoabilidade: massa positiva e ordem de grandeza razoável para um objeto de tamanho unitário com densidade proporcional à distância ao eixo (zero no eixo e maior próximo da lateral).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\\ \text{kg}

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