Em todas as questões da prova, é obrigatório construir os gráficos necessários a elaboração da integral correspondente.
Um sólido
é feito de um material cuja densidade em cada ponto é igual à distância do ponto ao eixo
(em
). O sólido
é a região dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
. Determine a massa do sólido.
Um sólido
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede: determinar a massa do sólido
. - Dado: a densidade no ponto
vale exatamente a distância desse ponto ao eixo . Portanto a densidade é
- Descrição da região
: - Dentro do cilindro
(ou seja, projeção no plano é o disco de raio ), - Acima do plano
, - Abaixo do cone
.
- Dentro do cilindro
- O que vamos calcular: a massa é a integral tripla da densidade sobre o volume
,
Passo 2
Escolha das coordenadas e ideia principal (sem ainda calcular): \n
Como a região é circular em torno do eixo e a densidade depende de
, é muito natural usar coordenadas cilíndricas. Vou explicar bem o sistema cilíndrico porque é essencial entender o porquê do fator extra que aparece no volume.
Como a região é circular em torno do eixo
- Coordenadas cilíndricas: definem-se
onde
é a distância ao eixo
, e
é o ângulo polar.
- Importante: a densidade
transforma-se em , porque . - Elemento de volume em cilíndricas:
. Esse fator é o jacobiano da mudança de variáveis; geometricamente ele aparece porque um retângulo pequeno em tem área aproximada (o arco tem comprimento ). - Logo, em cilíndricas o integrando
vira .
Passo 3
Definir os limites de integração (explicando cada um): \n
- Projeção no plano
: dentro do cilindro significa e . (Peguei esses limites do enunciado que deu o cilindro de raio .) - Em cada coluna com dado
, varia de baixo para cima: do plano até o cone . Portanto . - Assim a integral da massa fica, em coordenadas cilíndricas:
Expliquei: o
vem de
(densidade) vezes
(jacobiano).
Passo 4
Integrar em
primeiro (mostrando cada passo): \n
A integral interna é em e o integrando
é constante em
. Então
A integral interna é em
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
Passo 5
Integrar em
: \n
Calcule a integral em :
Calcule a integral em
Logo a integral torna-se
Passo 6
Integrar em
e concluir (com análise de unidades e checagem rápida): \n
Unidades: densidade em
e volume em
implicam massa em
. Portanto o resultado final tem unidade
. \n
Checagem rápida de razoabilidade: massa positiva e ordem de grandeza razoável para um objeto de tamanho unitário com densidade proporcional à distância ao eixo (zero no eixo e maior próximo da lateral).
Checagem rápida de razoabilidade: massa positiva e ordem de grandeza razoável para um objeto de tamanho unitário com densidade proporcional à distância ao eixo (zero no eixo e maior próximo da lateral).