- Todas as respostas devem ser justificadas e os cálculos devem ser apresentados.
Boa sorte!
Questöes:
4- (2,0 pt) Considere um elétron com energia cinética dada por
. Se o valor da incerteza na posição (
) da partícula é igual ao comprimento de onda associado a este elétron, determine o valor da incerteza mínima da sua energia cinética.
Boa sorte!
Questöes:
4- (2,0 pt) Considere um elétron com energia cinética dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elétron com energia cinética de $ E_{k} = 5,80 , keV $ e a incerteza na posição ($ \Delta x
\Delta E_{k} $). Para resolver isso, vamos usar os conceitos da mecânica quântica, especialmente o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona incertezas em posição e momento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $) do elétron. Isso pode ser feito usando a relação de de Broglie:
onde $ h $ é a constante de Planck ($ h = 6,626 \times 10^{-34} , Js $) e $ p $ é o momento do elétron.
Passo 3
Sabemos que a energia cinética ($ E_{k}
p $) pela fórmula:
onde $ m $ é a massa do elétron ($ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $). Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ p $:
Passo 4
Vamos converter a energia cinética de keV para joules para manter as unidades consistentes:
Passo 5
Agora, calculamos o momento $ p $:
Passo 6
Com o momento $ p $ encontrado, podemos determinar o comprimento de onda $ \lambda $ usando a relação de de Broglie:
Passo 7
Segundo o enunciado, a incerteza na posição $ \Delta x $ é igual ao comprimento de onda $ \lambda $:
Passo 8
Agora, aplicamos o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que nos diz:
onde $ \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} , Js $. Queremos encontrar $ \Delta p $:
Passo 9
Agora, precisamos relacionar a incerteza no momento $ \Delta p $ com a incerteza na energia cinética $ \Delta E_{k} $. Sabemos que:
Tomando a derivada em relação a $ p $, temos:
Passo 10
Calculamos $ \frac{p}{m} $:
Passo 11
Finalmente, calculamos a incerteza mínima na energia cinética $ \Delta E_{k} $:
Convertendo de volta para keV:
Resposta
A incerteza mínima na energia cinética do elétron é aproximadamente $ \Delta E_{k} = 9,20 , keV $.