• Todas as respostas devem ser justificadas e os cálculos devem ser apresentados.
    Boa sorte!
    Questöes:
    4- (2,0 pt) Considere um elétron com energia cinética dada por Ek=5,80 keV. Se o valor da incerteza na posição ( De ) da partícula é igual ao comprimento de onda associado a este elétron, determine o valor da incerteza mínima da sua energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron com energia cinética de $ E_{k} = 5,80 , keV $ e a incerteza na posição ($ \Delta x Ek = 5,80 , keV éééíé \Delta E_{k} $). Para resolver isso, vamos usar os conceitos da mecânica quântica, especialmente o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona incertezas em posição e momento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $) do elétron. Isso pode ser feito usando a relação de de Broglie:
lambda
onde $ h $ é a constante de Planck ($ h = 6,626 \times 10^{-34} , Js $) e $ p $ é o momento do elétron.

Passo 3

Sabemos que a energia cinética ($ E_{k} Ek á p $) pela fórmula:
p
onde $ m $ é a massa do elétron ($ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $). Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ p $:
Ek = p^22m

Passo 4

Vamos converter a energia cinética de keV para joules para manter as unidades consistentes:
Ek = 5,80 , keV = 5,80 times 10^3 times 1,602 times 10^-19 , J = 9,2916 times 10^-16 , J

Passo 5

Agora, calculamos o momento $ p $:
p

Passo 6

Com o momento $ p $ encontrado, podemos determinar o comprimento de onda $ \lambda $ usando a relação de de Broglie:
p

Passo 7

Segundo o enunciado, a incerteza na posição $ \Delta x $ é igual ao comprimento de onda $ \lambda $:
De

Passo 8

Agora, aplicamos o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que nos diz:
onde $ \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1,055 \times 10^{-34} , Js $. Queremos encontrar $ \Delta p $:
hbar = h2pi approx 1,055 times 10^-34 , Js

Passo 9

Agora, precisamos relacionar a incerteza no momento $ \Delta p $ com a incerteza na energia cinética $ \Delta E_{k} $. Sabemos que:
De
Tomando a derivada em relação a $ p $, temos:
De

Passo 10

Calculamos $ \frac{p}{m} $:
pm

Passo 11

Finalmente, calculamos a incerteza mínima na energia cinética $ \Delta E_{k} $:
De
Convertendo de volta para keV:
De

Resposta

A incerteza mínima na energia cinética do elétron é aproximadamente $ \Delta E_{k} = 9,20 , keV $.

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