Todo corpo é um domínio de integridade.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado afirma: “Todo corpo é um domínio de integridade.” A pergunta é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e que devemos considerar):
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e que devemos considerar):
- A palavra “corpo” significa o objeto algébrico usualmente chamado de campo.
- A expressão “domínio de integridade” refere-se à noção padrão de anel comutativo com unidade, distinto do anel zero, e sem divisores de zero.
O objetivo será verificar se todo corpo satisfaz as condições exigidas para ser um domínio de integridade.
Passo 2
Definição precisa de “corpo” (campo):
Um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) é um corpo se satisfaz, entre outras coisas, as seguintes propriedades essenciais:
Um conjunto
-
é um grupo abeliano. -
é um grupo abeliano, ou seja, todo elemento com tem inverso multiplicativo . - Multiplicação é distributiva sobre a adição.
Importante: em particular, num corpo a multiplicação é comutativa, existe um elemento neutroe todo elemento não-nulo é invertível.
Passo 3
Definição precisa de “domínio de integridade” (integral domain):
Um anel comutativo com unidade é chamado domínio de integridade se:
Um anel comutativo
-
em (não é o anel zero); e -
não possui divisores de zero, isto é, se e então ou .
Ou seja, a única forma de multiplicar dois elementos e obter zero é que pelo menos um deles seja zero.
Passo 4
Prova detalhada de que todo corpo é um domínio de integridade:
Seja um corpo. Queremos mostrar que
não tem divisores de zero (e já sabemos que
em
).
Considere com
Seja
Considere
Vamos analisar os casos. Se
ou
já estamos satisfeitos com a condição de domínio de integridade. Suponha, para obter contradição ou concluir o outro fator é zero, que
. Como
é um corpo,
possui inverso multiplicativo
. Multiplicando a igualdade
à esquerda por
obtemos:
Pelas propriedades da multiplicação e da inversa isto dá
Logo, sempre que
e
segue que
. Isso mostra que não existem divisores de zero em
. Como também
em um corpo, todas as hipóteses da definição de domínio de integridade estão satisfeitas.
Passo 5
Observações adicionais e exemplos para fixar a ideia (do jeito prático, como na prova):
- Exemplo concreto:
, e (com primo) são corpos; em todos eles, se então um dos fatores é zero, conforme a prova acima. - Contraexemplo relevante para evitar confusão:
(os inteiros) é um domínio de integridade, mas não é um corpo (nem todo elemento não nulo tem inverso em ). Portanto, ser domínio de integridade não implica ser corpo. Assim, a implicação é apenas numa direção: corpo domínio de integridade, mas o recíproco não vale em geral.
Resposta
Verdadeiro