Todo corpo é um domínio de integridade.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado afirma: “Todo corpo é um domínio de integridade.” A pergunta é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas e que devemos considerar):
  • A palavra “corpo” significa o objeto algébrico usualmente chamado de campo.
  • A expressão “domínio de integridade” refere-se à noção padrão de anel comutativo com unidade, distinto do anel zero, e sem divisores de zero.
    O objetivo será verificar se todo corpo satisfaz as condições exigidas para ser um domínio de integridade.

Passo 2

Definição precisa de “corpo” (campo):
Um conjunto F com duas operações (adição e multiplicação) é um corpo se satisfaz, entre outras coisas, as seguintes propriedades essenciais:
  • (F,+) é um grupo abeliano.
  • (F\setminus\{0\},\cdot) é um grupo abeliano, ou seja, todo elemento a\in F com a\neq 0 tem inverso multiplicativo a^{-1}\in F.
  • Multiplicação é distributiva sobre a adição.
    Importante: em particular, num corpo a multiplicação é comutativa, existe um elemento neutro 1\neq 0 e todo elemento não-nulo é invertível.

Passo 3

Definição precisa de “domínio de integridade” (integral domain):
Um anel comutativo R com unidade é chamado domínio de integridade se:
  • 1\neq 0 em R (não é o anel zero); e
  • R não possui divisores de zero, isto é, se a,b\in R e ab=0 então a=0 ou b=0.
    Ou seja, a única forma de multiplicar dois elementos e obter zero é que pelo menos um deles seja zero.

Passo 4

Prova detalhada de que todo corpo é um domínio de integridade:
Seja F um corpo. Queremos mostrar que F não tem divisores de zero (e já sabemos que 1\neq 0 em F).
Considere a,b\in F com
ab=0.
Vamos analisar os casos. Se a=0 ou b=0 já estamos satisfeitos com a condição de domínio de integridade. Suponha, para obter contradição ou concluir o outro fator é zero, que a\neq 0. Como F é um corpo, a possui inverso multiplicativo a^{-1}. Multiplicando a igualdade ab=0 à esquerda por a^{-1} obtemos:
a^{-1}(ab) = a^{-1}\cdot 0.
Pelas propriedades da multiplicação e da inversa isto dá
(a^{-1}a)b = 0 \quad\Rightarrow\quad 1\cdot b = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Logo, sempre que ab=0 e a\neq 0 segue que b=0. Isso mostra que não existem divisores de zero em F. Como também 1\neq 0 em um corpo, todas as hipóteses da definição de domínio de integridade estão satisfeitas.

Passo 5

Observações adicionais e exemplos para fixar a ideia (do jeito prático, como na prova):
  • Exemplo concreto: \mathbb{Q}, \mathbb{R} e \mathbb{Z}_p (com p primo) são corpos; em todos eles, se ab=0 então um dos fatores é zero, conforme a prova acima.
  • Contraexemplo relevante para evitar confusão: \mathbb{Z} (os inteiros) é um domínio de integridade, mas não é um corpo (nem todo elemento não nulo tem inverso em \mathbb{Z}). Portanto, ser domínio de integridade não implica ser corpo. Assim, a implicação é apenas numa direção: corpo \Rightarrow domínio de integridade, mas o recíproco não vale em geral.

Resposta

Verdadeiro

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