Considere o Teorema de Lagrange (para grupos). O Teorema de Lagrange diz que
◯ a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
◯ b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
◯ c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
◯ d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
◯ e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.
◯ a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
◯ b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
◯ c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
◯ d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
◯ e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas corresponde ao Teorema de Lagrange (para grupos). As alternativas dadas são:
a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.
a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.
O que precisamos decidir é qual dessas frases expressa corretamente o conteúdo do Teorema de Lagrange.
Passo 2
Vamos fixar definições básicas (cada termo importante explicado com calma).
- A ordem de um grupo: quando dizemos
, estamos falando do número de elementos do grupo . Se é finito, dizemos que é um grupo finito. - A ordem de um subgrupo: se
é um subgrupo de , a ordem de é , o número de elementos de . - O índice de um subgrupo
em : denotado por , é o número de classes laterais (cosets) de em . Ou seja, quantas partes iguais “corta” o grupo .
Essas três palavras aparecem nas alternativas e precisam estar claras antes de aplicar o teorema.
Passo 3
Definição de coset (classe lateral) — conceito chave para Lagrange.
- Se
(lê-se: é subgrupo de ) e , a classe lateral à esquerda de por é o conjunto
- Intuição: multiplica-se todo mundo de
por e obtém-se uma “cópia deslocada” de . Há também as classes laterais à direita , mas para Lagrange basta falar das classes laterais à esquerda.
Exemplo simples para visualizar (sem contas pesadas): se
tem 2 elementos, então cada coset
também terá exatamente 2 elementos.
Passo 4
Propriedades essenciais das classes laterais (por que elas são úteis).
- As classes laterais particionam o grupo
: isso significa que cada elemento de pertence a exatamente uma classe lateral de . Em particular, não há sobreposição parcial entre duas classes laterais distintas — ou são iguais ou disjuntas. - Razão curta: se
então , daí pode-se mostrar que .
- Razão curta: se
- Todas as classes laterais têm o mesmo número de elementos que
: para qualquer ,
- Razão: a aplicação
dada por é bijetora (tem inversa ). Logo tamanho preservado.
Essas duas propriedades juntas são a chave para provar Lagrange.
Passo 5
Prova direta do Teorema de Lagrange (passo a passo simples).
- Como as classes laterais à esquerda de
particionam , podemos escrever como união disjunta de classes laterais. - Cada classe lateral tem
elementos. - Então o número total de elementos de
é simplesmente o número de classes vezes o tamanho de cada classe. Portanto vale a igualdade
- Da última igualdade, quando
é finito, segue imediatamente que divide (pois é um múltiplo inteiro de ). Também segue que o índice é , um inteiro.
Essa conclusão é exatamente o conteúdo do Teorema de Lagrange: a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo (para grupos finitos).
Passo 6
Checando as alternativas: por que a correta é a alternativa (e) e por que as outras estão erradas.
- Alternativa e: “a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.” — Isto é exatamente o que acabamos de demonstrar:
implica que divide . Então (e) está correta. - Alternativa a: “a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.” — Errada. A relação correta é multiplicativa, não aditiva. Não se soma
; soma não tem sentido aqui. - Alternativa b: “a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.” — Errada. É o contrário: a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo, não o contrário (geralmente
). - Alternativa c: “a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.” — Errada. O índice
geralmente é maior ou igual a e ; normalmente não precisa ser múltiplo de . Por exemplo, se e , então e não divide . - Alternativa d: “a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.” — Errada e absurda: subgrupos podem ter qualquer ordem que divida
, não só .
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (um exemplo concreto ajuda a memorizar).
Considere
(grupo das permutações de 3 elementos). Tem
. Existem subgrupos
de ordem
(cíclicos gerados por uma 3-ciclagem) e subgrupos de ordem
(gerados por uma transposição). Para
de ordem
temos
. Para um subgrupo
de ordem
temos
. Em ambos os casos
e
dividem
, confirmando Lagrange.
Resposta
e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.