Considere o Teorema de Lagrange (para grupos). O Teorema de Lagrange diz que
◯ a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
◯ b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
◯ c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
◯ d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
◯ e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas corresponde ao Teorema de Lagrange (para grupos). As alternativas dadas são:
a. a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.
b. a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.
c. a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.
d. a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.
e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.
O que precisamos decidir é qual dessas frases expressa corretamente o conteúdo do Teorema de Lagrange.

Passo 2

Vamos fixar definições básicas (cada termo importante explicado com calma).
  • A ordem de um grupo: quando dizemos |G|, estamos falando do número de elementos do grupo G. Se |G| é finito, dizemos que G é um grupo finito.
  • A ordem de um subgrupo: se H é um subgrupo de G, a ordem de H é |H|, o número de elementos de H.
  • O índice de um subgrupo H em G: denotado por [G : H], é o número de classes laterais (cosets) de H em G. Ou seja, quantas partes iguais H “corta” o grupo G.
Essas três palavras aparecem nas alternativas e precisam estar claras antes de aplicar o teorema.

Passo 3

Definição de coset (classe lateral) — conceito chave para Lagrange.
  • Se H\le G (lê-se: H é subgrupo de G) e g\in G, a classe lateral à esquerda de H por g é o conjunto
gH = \{\,gh \mid h\in H\,\}.
  • Intuição: multiplica-se todo mundo de H por g e obtém-se uma “cópia deslocada” de H. Há também as classes laterais à direita Hg, mas para Lagrange basta falar das classes laterais à esquerda.
Exemplo simples para visualizar (sem contas pesadas): se H=\{e,a\} tem 2 elementos, então cada coset gH também terá exatamente 2 elementos.

Passo 4

Propriedades essenciais das classes laterais (por que elas são úteis).
  1. As classes laterais particionam o grupo G: isso significa que cada elemento de G pertence a exatamente uma classe lateral de H. Em particular, não há sobreposição parcial entre duas classes laterais distintas — ou são iguais ou disjuntas.
    • Razão curta: se x\in g_1H\cap g_2H então g_1^{-1}g_2\in H, daí pode-se mostrar que g_1H=g_2H.
  2. Todas as classes laterais têm o mesmo número de elementos que H: para qualquer g\in G,
|gH|=|H|.
  • Razão: a aplicação H\to gH dada por h\mapsto gh é bijetora (tem inversa gh\mapsto g^{-1}(gh)=h). Logo tamanho preservado.
Essas duas propriedades juntas são a chave para provar Lagrange.

Passo 5

Prova direta do Teorema de Lagrange (passo a passo simples).
  • Como as classes laterais à esquerda de H particionam G, podemos escrever G como união disjunta de [G:H] classes laterais.
  • Cada classe lateral tem |H| elementos.
  • Então o número total de elementos de G é simplesmente o número de classes vezes o tamanho de cada classe. Portanto vale a igualdade
|G| = [G : H]\cdot |H|.
  • Da última igualdade, quando |G| é finito, segue imediatamente que |H| divide |G| (pois |G| é um múltiplo inteiro de |H|). Também segue que o índice [G:H] é |G|/|H|, um inteiro.
Essa conclusão é exatamente o conteúdo do Teorema de Lagrange: a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo (para grupos finitos).

Passo 6

Checando as alternativas: por que a correta é a alternativa (e) e por que as outras estão erradas.
  • Alternativa e: “a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.” — Isto é exatamente o que acabamos de demonstrar: |G|=[G:H]\cdot|H| implica que |H| divide |G|. Então (e) está correta.
  • Alternativa a: “a ordem de um subgrupo somada com o índice do subgrupo é igual a ordem do grupo.” — Errada. A relação correta é multiplicativa, não aditiva. Não se soma |H|+[G:H]; soma não tem sentido aqui.
  • Alternativa b: “a ordem de um grupo divide a ordem do subgrupo.” — Errada. É o contrário: a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo, não o contrário (geralmente |H|\le |G|).
  • Alternativa c: “a ordem de um subgrupo divide o índice de um subgrupo.” — Errada. O índice [G:H] geralmente é maior ou igual a 1 e [G:H]=|G|/|H|; normalmente [G:H] não precisa ser múltiplo de |H|. Por exemplo, se |G|=6 e |H|=3, então [G:H]=2 e 3 não divide 2.
  • Alternativa d: “a ordem de um subgrupo é sempre igual a 2.” — Errada e absurda: subgrupos podem ter qualquer ordem que divida |G|, não só 2.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (um exemplo concreto ajuda a memorizar).
Considere G=S_3 (grupo das permutações de 3 elementos). Tem |G|=6. Existem subgrupos H de ordem 3 (cíclicos gerados por uma 3-ciclagem) e subgrupos de ordem 2 (gerados por uma transposição). Para H de ordem 3 temos [G:H]=6/3=2. Para um subgrupo K de ordem 2 temos [G:K]=6/2=3. Em ambos os casos |H| e |K| dividem |G|=6, confirmando Lagrange.

Resposta

e. a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.

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