Seja ( \mathrm{G},{ }^{*} ) um grupo e seja a um elemento de G . Considere a afirmação a seguir e responda se ela é Verdadeira ou Falsa.
Afirmação: Dado a em G, podem existir diferentes elementos inversos de a em G, todos distintos entre si.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Há um grupo (G,{ }^{*}).
  • Há um elemento a\in G.
  • A afirmação a ser avaliada é: “Dado a em G, podem existir diferentes elementos inversos de a em G, todos distintos entre si.”
    A pergunta é decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um grupo e o que se chama inverso, de forma bem direta e clara:
  • Um grupo (G,{ }^{*}) é um conjunto G com uma operação binária { }^{*} que satisfaz três propriedades: associatividade, existência de elemento neutro (identidade) e existência de inversos para cada elemento.
  • A existência de identidade significa que existe um elemento e\in G tal que, para todo x\in G, vale x { }^{*} e = e { }^{*} x = x.
  • A existência de inverso para a significa que existe algum b\in G tal que a { }^{*} b = b { }^{*} a = e. Esse b é chamado inverso de a.
    O que queremos decidir é se um elemento a pode ter dois (ou mais) inversos distintos em um grupo.

Passo 3

Para responder, vamos assumir que a tem dois inversos quaisquer e ver o que isso implica. Seja b\in G e c\in G tais que ambos são inversos de a. Ou seja, por hipótese:
  • a { }^{*} b = e e b { }^{*} a = e.
  • a { }^{*} c = e e c { }^{*} a = e.

Passo 4

Agora fazemos a cadeia de igualdades que mostra que b e c são iguais. Cada passo usa apenas associatividade e as igualdades acima.
Começamos por b:
b = b { }^{*} e, porque e é identidade.
Como a { }^{*} c = e, podemos substituir e por a { }^{*} c:
b = b { }^{*} (a { }^{*} c).
Pela associatividade da operação { }^{*} (podemos reassociar os parênteses):
b = (b { }^{*} a) { }^{*} c.
Mas b { }^{*} a = e por hipótese (pois b é inverso de a), então:
b = e { }^{*} c.
E finalmente, e { }^{*} c = c porque e é a identidade. Logo:
b = c.

Passo 5

Concluímos então que se b e c são inversos de a em um grupo, necessariamente b = c. Ou seja, o inverso de um elemento em um grupo é único — não podem existir dois inversos distintos.

Passo 6

Resumo em palavras simples: supondo que existissem dois inversos distintos para a, ao usar associatividade e as propriedades da identidade e dos inversos, deduzimos que esses dois supostos inversos têm de ser iguais. Logo a hipótese de serem distintos leva a contradição; portanto não existem dois inversos distintos.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados