Seja (
) um grupo e seja a um elemento de G . Considere a afirmação a seguir e responda se ela é Verdadeira ou Falsa.
Afirmação: Dado a em G, podem existir diferentes elementos inversos de a em G, todos distintos entre si.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Afirmação: Dado a em G, podem existir diferentes elementos inversos de a em G, todos distintos entre si.
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Há um grupo
. - Há um elemento
. - A afirmação a ser avaliada é: “Dado
em , podem existir diferentes elementos inversos de em , todos distintos entre si.”
A pergunta é decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um grupo e o que se chama inverso, de forma bem direta e clara:
- Um grupo
é um conjunto com uma operação binária que satisfaz três propriedades: associatividade, existência de elemento neutro (identidade) e existência de inversos para cada elemento. - A existência de identidade significa que existe um elemento
tal que, para todo , vale . - A existência de inverso para
significa que existe algum tal que . Esse é chamado inverso de .
O que queremos decidir é se um elementopode ter dois (ou mais) inversos distintos em um grupo.
Passo 3
Para responder, vamos assumir que
tem dois inversos quaisquer e ver o que isso implica. Seja
e
tais que ambos são inversos de
. Ou seja, por hipótese:
-
e . -
e .
Passo 4
Agora fazemos a cadeia de igualdades que mostra que
e
são iguais. Cada passo usa apenas associatividade e as igualdades acima.
Começamos por :
, porque
é identidade.
Como , podemos substituir
por
:
.
Pela associatividade da operação (podemos reassociar os parênteses):
.
Mas por hipótese (pois
é inverso de
), então:
.
E finalmente, porque
é a identidade. Logo:
.
Começamos por
Como
Pela associatividade da operação
Mas
E finalmente,
Passo 5
Concluímos então que se
e
são inversos de
em um grupo, necessariamente
. Ou seja, o inverso de um elemento em um grupo é único — não podem existir dois inversos distintos.
Passo 6
Resumo em palavras simples: supondo que existissem dois inversos distintos para
, ao usar associatividade e as propriedades da identidade e dos inversos, deduzimos que esses dois supostos inversos têm de ser iguais. Logo a hipótese de serem distintos leva a contradição; portanto não existem dois inversos distintos.
Resposta
Falso