1. Todo estudante que frequenta a biblioteca gosta de estudar.

Passo 1

Enunciado dado: “Todo estudante que frequenta a biblioteca gosta de estudar.” \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • Há um quantificador universal implícito: “Todo”.\n
  • O sujeito composto é “estudante que frequenta a biblioteca” (duas condições juntas).\n
  • A propriedade afirmada é “gosta de estudar”.\n
  • Não foi especificado o domínio (pode ser “todas as pessoas” ou “apenas estudantes”).\n
    O que vou responder (tarefas que normalmente esse enunciado pede): formalizar em lógica de predicados, obter a negação lógica, obter a contrária/contrapositiva e explicar tudo passo a passo para você saber usar isso na prova.

Passo 2

Definindo domínio e predicados (sempre comece assim na prova para evitar ambiguidade): \n
  • Vou tomar como domínio “todas as pessoas” (caso comum).\n
  • Defina os predicados: \n
    • E(x): " x é estudante".\n
    • B(x): " x frequenta a biblioteca".\n
    • G(x): " x gosta de estudar".\n
      Agora uma mini-aula sobre símbolos básicos que vou usar: \n
  • \forall x significa "para todo x" (quantificador universal).\n
  • \exists x significa "existe algum x" (quantificador existencial).\n
  • \land é “e” lógico (conjunção).\n
  • \lor é “ou” lógico (disjunção, inclusivo: pode ser um ou outro ou ambos).\n
  • \rightarrow é “implica” (uma implicação P\rightarrow Q é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa; nas outras três combinações é verdadeira).\n
    Essas são as ferramentas para traduzir a frase para lógica formal.

Passo 3

Formalizando a frase com domínio “todas as pessoas”: primeiro identifique a estrutura: “Todo (se é estudante e frequenta a biblioteca) então (gosta de estudar)”. \n
Isto vira a fórmula abaixo, aplicando o quantificador universal a todos os indivíduos: \n
\forall x\;((E(x)\land B(x)) \rightarrow G(x))
Explicação passo a passo do porquê: a parte E(x)\land B(x) descreve " x é estudante e frequenta a biblioteca"; a implicação diz que sempre que isso ocorrer, x terá a propriedade G(x) (gostar de estudar).\n
Observação importante sobre domínio alternativo: se o domínio for “apenas estudantes” (ou seja, todos os x já satisfazem E(x)), então a mesma frase pode ser escrita de forma mais simples como\n
\forall x\;(B(x)\rightarrow G(x))
porque E(x) é verdadeiro para todo x do domínio, sobrando apenas “se frequenta a biblioteca então gosta de estudar”.

Passo 4

Como negar essa afirmação (isso cai direto em prova): regra geral de negação de um universal é \neg \forall x\;P(x)\equiv \exists x\;\neg P(x). Aplicando isso em nossa fórmula: \n
Começo com \neg \forall x\;((E(x)\land B(x))\rightarrow G(x)). \n
Usando a regra da negação do universal, isso é equivalente a\n
\exists x\;\neg\bigl(((E(x)\land B(x))\rightarrow G(x))\bigr).
Agora use a equivalência lógica \neg(P\rightarrow Q)\equiv P\land \neg Q. Aplicando aqui:\n
\exists x\;((E(x)\land B(x))\land \neg G(x)).
Interpretação em linguagem natural: “Existe pelo menos um indivíduo que é estudante, frequenta a biblioteca e não gosta de estudar.” \n
Dica prática: ao negar um “todo”, pense em “existe um contraexemplo” com todas as condições do antecedente verdadeiras e o consequente falso.

Passo 5

Contrapositiva (ou contrária lógica) — outra coisa que costumam pedir: \n
Regra geral: P\rightarrow Q é logicamente equivalente à sua contrária \neg Q\rightarrow \neg P. \n
No nosso caso o antecedente é E(x)\land B(x) e o consequente é G(x). A contrapositiva por indivíduo é\n
\neg G(x) \rightarrow \neg(E(x)\land B(x)).
Podemos simplificar \neg(E(x)\land B(x)) usando De Morgan para \neg E(x)\lor \neg B(x). Então a contrapositiva fica\n
\forall x\;(\neg G(x)\rightarrow (\neg E(x)\lor \neg B(x))).
Interpretação em palavras: “Para toda pessoa, se ela não gosta de estudar então ela não é (um estudante que frequenta a biblioteca) — ou seja, ela ou não é estudante ou não frequenta a biblioteca.” \n
Se estivermos no domínio restringido a estudantes, a versão simplificada é\n
\forall x\;(\neg G(x)\rightarrow \neg B(x)),
que em palavras diz “Todo estudante que não gosta de estudar não frequenta a biblioteca.” — repare como a escolha do domínio muda a forma natural da frase.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar (faça isso na prova para checar sua tradução): \n
  • Suponha três pessoas: Ana (estudante, frequenta, gosta), Beto (estudante, frequenta, não gosta), Carla (não estudante). \n
    • A fórmula original \forall x\;((E(x)\land B(x))\rightarrow G(x)) é falsa porque Beto é um contraexemplo: E(\text{Beto})\land B(\text{Beto}) é verdadeiro, mas G(\text{Beto}) é falso. \n
    • A negação \exists x\;((E(x)\land B(x))\land \neg G(x)) é verdadeira (Beto satisfaz).\n
      Esse tipo de checagem por exemplos rápidos ajuda a garantir que você traduziu corretamente.

Passo 7

Resumo prático (truques para prova): \n
  • Sempre comece declarando domínio e predicados (evita erros). \n
  • Ao traduzir “Todo … que …” pense em \forall x\;(\text{condição} \rightarrow \text{conclusão})çãã. \n
  • Para negar uma afirmação universal, troque \forall por \exists e negue o interior; para negar uma implicação use P\land\neg Q. \n
  • Para escrever a contrapositiva, negue consequente e antecedente e troque de lados; isso é equivalente ao enunciado original. \n
  • Se o enunciado não especificar domínio, prefira “todas as pessoas” e inclua E(x) como condição quando necessário; se o domínio for explicitamente “estudantes”, simplifique.

Resposta

Formalização (domínio = todas as pessoas): \forall x\;((E(x)\land B(x)) \rightarrow G(x))\n
Formalização (domínio = estudantes): \forall x\;(B(x)\rightarrow G(x))\n
Negação: \exists x\;((E(x)\land B(x))\land \neg G(x))\n
Contrapositiva (domínio = todas as pessoas): \forall x\;(\neg G(x)\rightarrow (\neg E(x)\lor \neg B(x)))\n
Contrapositiva (domínio = estudantes): \forall x\;(\neg G(x)\rightarrow \neg B(x))

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