- Todo estudante que frequenta a biblioteca gosta de estudar.
Passo 1
Enunciado dado: “Todo estudante que frequenta a biblioteca gosta de estudar.” \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- Há um quantificador universal implícito: “Todo”.\n
- O sujeito composto é “estudante que frequenta a biblioteca” (duas condições juntas).\n
- A propriedade afirmada é “gosta de estudar”.\n
- Não foi especificado o domínio (pode ser “todas as pessoas” ou “apenas estudantes”).\n
O que vou responder (tarefas que normalmente esse enunciado pede): formalizar em lógica de predicados, obter a negação lógica, obter a contrária/contrapositiva e explicar tudo passo a passo para você saber usar isso na prova.
Passo 2
Definindo domínio e predicados (sempre comece assim na prova para evitar ambiguidade): \n
- Vou tomar como domínio “todas as pessoas” (caso comum).\n
- Defina os predicados: \n
-
: " é estudante".\n -
: " frequenta a biblioteca".\n -
: " gosta de estudar".\n
Agora uma mini-aula sobre símbolos básicos que vou usar: \n
-
-
significa "para todo " (quantificador universal).\n -
significa "existe algum " (quantificador existencial).\n -
é “e” lógico (conjunção).\n -
é “ou” lógico (disjunção, inclusivo: pode ser um ou outro ou ambos).\n -
é “implica” (uma implicação é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; nas outras três combinações é verdadeira).\n
Essas são as ferramentas para traduzir a frase para lógica formal.
Passo 3
Formalizando a frase com domínio “todas as pessoas”: primeiro identifique a estrutura: “Todo (se é estudante e frequenta a biblioteca) então (gosta de estudar)”. \n
Isto vira a fórmula abaixo, aplicando o quantificador universal a todos os indivíduos: \n
Isto vira a fórmula abaixo, aplicando o quantificador universal a todos os indivíduos: \n
Explicação passo a passo do porquê: a parte
descreve "
é estudante e frequenta a biblioteca"; a implicação diz que sempre que isso ocorrer,
terá a propriedade
(gostar de estudar).\n
Observação importante sobre domínio alternativo: se o domínio for “apenas estudantes” (ou seja, todos os já satisfazem
), então a mesma frase pode ser escrita de forma mais simples como\n
Observação importante sobre domínio alternativo: se o domínio for “apenas estudantes” (ou seja, todos os
porque
é verdadeiro para todo
do domínio, sobrando apenas “se frequenta a biblioteca então gosta de estudar”.
Passo 4
Como negar essa afirmação (isso cai direto em prova): regra geral de negação de um universal é
. Aplicando isso em nossa fórmula: \n
Começo com . \n
Usando a regra da negação do universal, isso é equivalente a\n
Começo com
Usando a regra da negação do universal, isso é equivalente a\n
Agora use a equivalência lógica
. Aplicando aqui:\n
Interpretação em linguagem natural: “Existe pelo menos um indivíduo que é estudante, frequenta a biblioteca e não gosta de estudar.” \n
Dica prática: ao negar um “todo”, pense em “existe um contraexemplo” com todas as condições do antecedente verdadeiras e o consequente falso.
Dica prática: ao negar um “todo”, pense em “existe um contraexemplo” com todas as condições do antecedente verdadeiras e o consequente falso.
Passo 5
Contrapositiva (ou contrária lógica) — outra coisa que costumam pedir: \n
Regra geral: é logicamente equivalente à sua contrária
. \n
No nosso caso o antecedente é e o consequente é
. A contrapositiva por indivíduo é\n
Regra geral:
No nosso caso o antecedente é
Podemos simplificar
usando De Morgan para
. Então a contrapositiva fica\n
Interpretação em palavras: “Para toda pessoa, se ela não gosta de estudar então ela não é (um estudante que frequenta a biblioteca) — ou seja, ela ou não é estudante ou não frequenta a biblioteca.” \n
Se estivermos no domínio restringido a estudantes, a versão simplificada é\n
Se estivermos no domínio restringido a estudantes, a versão simplificada é\n
que em palavras diz “Todo estudante que não gosta de estudar não frequenta a biblioteca.” — repare como a escolha do domínio muda a forma natural da frase.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar (faça isso na prova para checar sua tradução): \n
- Suponha três pessoas: Ana (estudante, frequenta, gosta), Beto (estudante, frequenta, não gosta), Carla (não estudante). \n
- A fórmula original
é falsa porque Beto é um contraexemplo: é verdadeiro, mas é falso. \n - A negação
é verdadeira (Beto satisfaz).\n
Esse tipo de checagem por exemplos rápidos ajuda a garantir que você traduziu corretamente.
- A fórmula original
Passo 7
Resumo prático (truques para prova): \n
- Sempre comece declarando domínio e predicados (evita erros). \n
- Ao traduzir “Todo … que …” pense em
. \n - Para negar uma afirmação universal, troque
por e negue o interior; para negar uma implicação use . \n - Para escrever a contrapositiva, negue consequente e antecedente e troque de lados; isso é equivalente ao enunciado original. \n
- Se o enunciado não especificar domínio, prefira “todas as pessoas” e inclua
como condição quando necessário; se o domínio for explicitamente “estudantes”, simplifique.
Resposta
Formalização (domínio = todas as pessoas):
\n
Formalização (domínio = estudantes): \n
Negação: \n
Contrapositiva (domínio = todas as pessoas): \n
Contrapositiva (domínio = estudantes):
Formalização (domínio = estudantes):
Negação:
Contrapositiva (domínio = todas as pessoas):
Contrapositiva (domínio = estudantes):