Para todo
, quanto vale
?
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b.
◯ C. -1
◯ d. i
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b.
◯ C. -1
◯ d. i
Passo 1
O enunciado dá para todo
o expoente
e pede o valor de
. Ou seja, a pergunta é: para cada
natural, qual é o número complexo
? As informações relevantes são exatamente os coeficientes do polinômio do expoente:
,
e
.
Passo 2
Lembrete importante sobre potências de
(a unidade imaginária): as potências de
ciclam com período
. Explicitamente,
e daí em diante repete-se:
para todo
. Isso significa que para saber
basta conhecer o resto da divisão de
por
(isto é,
módulo
).
Passo 3
Explicando congruências de forma simples: se dois inteiros
e
satisfazem
, então
é divisível por
. Para potências de
vale
Portanto vamos reduzir
módulo
.
Passo 4
Vamos ver termo a termo a divisibilidade por
. Note que
Cada um dos três termos é múltiplo de
. Somando,
é múltiplo de
para todo
. Em notação de congruência:
Passo 5
Como
, existe um inteiro
tal que
. Então
Pelo ciclo de potências de
temos
, logo
.
Passo 6
Para fixar a ideia com um exemplo numérico: se
então
. Como
temos
. Mesmo para
:
e
, então
. Isso confirma que o valor é sempre o mesmo independente de
.
Resposta
(a) 1