Para todo n \in \mathbb{N}, quanto vale i^{64 n^{3}+240 n^{2}+4} ?
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b. -i
◯ C. -1
◯ d. i

Passo 1

O enunciado dá para todo n\in\mathbb{N} o expoente
E(n)=64\,n^{3}+240\,n^{2}+4
e pede o valor de i^{E(n)}. Ou seja, a pergunta é: para cada n natural, qual é o número complexo i^{64 n^{3}+240 n^{2}+4}? As informações relevantes são exatamente os coeficientes do polinômio do expoente: 64, 240 e 4.

Passo 2

Lembrete importante sobre potências de i (a unidade imaginária): as potências de i ciclam com período 4. Explicitamente,
i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e daí em diante repete-se: i^{k+4}=i^{k} para todo k\in\mathbb{Z}. Isso significa que para saber i^{E} basta conhecer o resto da divisão de E por 4 (isto é, E módulo 4).

Passo 3

Explicando congruências de forma simples: se dois inteiros a e b satisfazem a\equiv b\pmod{4}, então a-b é divisível por 4. Para potências de i vale
\text{se }E\equiv r\pmod{4}\text{ com }r\in\{0,1,2,3\},\text{ então }i^{E}=i^{r}.ã
Portanto vamos reduzir E(n) módulo 4.

Passo 4

Vamos ver termo a termo a divisibilidade por 4. Note que
64\,n^{3}=4\cdot(16\,n^{3}), \qquad 240\,n^{2}=4\cdot(60\,n^{2}), \qquad 4=4\cdot 1.
Cada um dos três termos é múltiplo de 4. Somando, E(n) é múltiplo de 4 para todo n. Em notação de congruência:
E(n)=64\,n^{3}+240\,n^{2}+4\equiv 0\pmod{4}.

Passo 5

Como E(n)\equiv 0\pmod{4}, existe um inteiro k tal que E(n)=4k. Então
i^{E(n)}=i^{4k}=(i^{4})^{k}.
Pelo ciclo de potências de i temos i^{4}=1, logo (i^{4})^{k}=1^{k}=1.

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo numérico: se n=1 então E(1)=64+240+4=308. Como 308=4\cdot77 temos i^{308}=(i^{4})^{77}=1. Mesmo para n=2: E(2)=64\cdot8+240\cdot4+4=512+960+4=1476 e 1476=4\cdot369, então i^{1476}=1. Isso confirma que o valor é sempre o mesmo independente de n.

Resposta

(a) 1

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