Determine os complexos z e w que satisfazem z+w=1 \quad e \quad i z+(1+i) w=1.
Escolha uma opção:
◯ a. z=i \quad e \quad w=1+i
◯ b. \quad z=-i \quad e \quad \boldsymbol{w}=\mathbf{1}-\boldsymbol{i}
◯ C. \quad z=-i+1 \quad e \quad \boldsymbol{w}=-i
◯ d. z=\boldsymbol{i} \quad e \quad \boldsymbol{w}=\mathbf{1}-\boldsymbol{i}
◯ e. z=1-i \quad e \quad \boldsymbol{w}=-i

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações para os números complexos z e w:
z + w = 1
i z + (1+i) w = 1.
A pergunta é determinar quais são z e w (escolher a alternativa correta entre as opções dadas).

Passo 2

Estratégia escolhida: usar o método da substituição. É simples e direto quando uma das equações já está isolada em termos de uma das incógnitas — aqui a primeira equação permite isolar z. Substituição significa resolver uma equação para uma variável e substituir essa expressão na outra equação, reduzindo o sistema a uma única equação numa única variável.

Passo 3

Isolando z a partir de \;z+w=1\; temos:
z = 1 - w.

Passo 4

Substituímos z=1-w na segunda equação \;i z + (1+i)w = 1\;. Isso dá:
i(1-w) + (1+i)w = 1.

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos a expressão. Primeiro distribuir os fatores:
i(1-w) + (1+i)w = i - i w + w + i w.
Agrupando os termos que envolvem w:
i - i w + w + i w = i + (-i w + i w) + w = i + 0 + w = i + w.
Aqui usei que -i w + i w = (-i + i)w = 0. Portanto a equação reduz-se a
i + w = 1.

Passo 6

Isolando w obtemos
w = 1 - i.

Passo 7

Com w encontrado, voltamos à expressão z=1-w para obter z:
z = 1 - w = 1 - (1 - i) = i.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): \
Verificar \;z+w=1\;:
z+w = i + (1 - i) = 1.
Verificar \;i z + (1+i)w = 1\;:
i z + (1+i)w = i\cdot i + (1+i)(1-i).
Calcular cada termo: i\cdot i = -1. E (1+i)(1-i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = 2. Logo
i z + (1+i)w = -1 + 2 = 1,
confirmando que os valores satisfazem ambas as equações.

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas, a alternativa que contém z=i e w=1-i é a alternativa d.

Resposta

d.

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