Para todo
construir um grupo não abeliano de ordem
. (Sugestão: imitar as relações em
.)
Passo 1
O que o enunciado pede: para cada inteiro
construir um grupo que satisfaça duas condições:
- tenha ordem
; - seja não abeliano.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Apenas a condição
e a ordem desejada estão especificadas. - A sugestão é "imitar as relações em
" — isto indica que podemos usar um gerador que tem ordem (como uma rotação) e outro gerador de ordem (como uma reflexão) com a relação que troca a rotação por sua inversa quando conjugada.
Passo 2
Construção explícita (modelo concreto, fácil de manipular): definir o conjunto
onde
com adição módulo
e
com adição módulo
. Definimos a multiplicação em
por
para quaisquer
e
.
Explicando a ideia de forma didática: pense em
como “rodar”
passos (uma rotação), e em
como uma reflexão que, quando aplicada antes de uma rotação, inverte o sentido da rotação (por isso o fator
no segundo parâmetro). Essa é a forma algébrica de imitar as relações de
: uma rotação de ordem
e uma reflexão de ordem
que conjugam a rotação para sua inversa.
Passo 3
Verificar que
com essa operação é um grupo.
-
Fechamento: dadas duas tuplas
e a fórmula produz que é de fato um elemento de . Portanto fechado. -
Associatividade: a operação usa somente as adições em
e e a multiplicação por (que é fixa para cada ). Para verificar associatividade, compute explicitamente
e
e observe que ambos dão
usando a associatividade das adições modulares e a regra
. Logo a operação é associativa.
- Elemento neutro:
é neutro, pois
e simetricamente à direita.
- Inversos: para
o inverso é , porque
Assim todo elemento tem inverso.
Portanto
é um grupo.
Passo 4
Contar elementos:
e
, logo o produto cartesiano tem
elementos. Assim
.
Passo 5
Exibir geradores e relações que mostram a semelhança com
e a natureza não abeliana.
Defina os elementos
Calcule potências e conjugações:
-
para , portanto é a identidade, isto é tem ordem . -
, logo tem ordem . - Conjugação de
por :
Usando a regra de multiplicação,
e então
Portanto
. Essas são exatamente as relações sugeridas (tipo
):
,
,
.
Passo 6
Provar que o grupo é não abeliano para
.
Mostramos que
quando
. Calcule:
enquanto
Como
em
salvo quando
, isto é, salvo quando
(o que força
), concluímos que para todo
tem-se
. Logo
é não abeliano sempre que
.
Passo 7
Comentário adicional (ajuda para a prova): a construção acima é o grupo diedral
. Alternativamente, pode-se apresentar
por apresentação
ou ver
como o produto semidireto
em que o gerador de
age sobre
por
. Para
este grupo é isomorfo a
, que é a motivação da sugestão do enunciado.