Para todo n>2 construir um grupo não abeliano de ordem 2 n. (Sugestão: imitar as relações em S_{3}.)

Passo 1

O que o enunciado pede: para cada inteiro n>2 construir um grupo que satisfaça duas condições:
  • tenha ordem 2n;
  • seja não abeliano.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Apenas a condição n>2 e a ordem desejada 2n estão especificadas.
  • A sugestão é "imitar as relações em S_{3}" — isto indica que podemos usar um gerador que tem ordem n (como uma rotação) e outro gerador de ordem 2 (como uma reflexão) com a relação que troca a rotação por sua inversa quando conjugada.

Passo 2

Construção explícita (modelo concreto, fácil de manipular): definir o conjunto
G=\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_2,
onde \mathbb{Z}_n=\{0,1,\dots,n-1\} com adição módulo n e \mathbb{Z}_2=\{0,1\} com adição módulo 2. Definimos a multiplicação em G por
(a,\varepsilon)\cdot(b,\delta)=(a+(-1)^{\varepsilon}b,\\ \varepsilon+\delta\\ (\bmod\,2))
para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}_n e \varepsilon,\delta\in\mathbb{Z}_2.
Explicando a ideia de forma didática: pense em (a,0) como “rodar” a passos (uma rotação), e em (0,1) como uma reflexão que, quando aplicada antes de uma rotação, inverte o sentido da rotação (por isso o fator (-1)^{\varepsilon} no segundo parâmetro). Essa é a forma algébrica de imitar as relações de S_3: uma rotação de ordem n e uma reflexão de ordem 2 que conjugam a rotação para sua inversa.

Passo 3

Verificar que G com essa operação é um grupo.
  1. Fechamento: dadas duas tuplas (a,\varepsilon) e (b,\delta) a fórmula produz (a+(-1)^{\varepsilon}b,\varepsilon+\delta) que é de fato um elemento de \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_2. Portanto fechado.
  2. Associatividade: a operação usa somente as adições em \mathbb{Z}_n e \mathbb{Z}_2 e a multiplicação por (-1)^{\varepsilon} (que é fixa para cada \varepsilon). Para verificar associatividade, compute explicitamente
\big((a,\varepsilon)(b,\delta)\big)(c,\eta)
e
(a,\varepsilon)\big((b,\delta)(c,\eta)\big)
e observe que ambos dão
\big(a+(-1)^{\varepsilon}b+(-1)^{\varepsilon+\delta}c,\\ \varepsilon+\delta+\eta\\ (\bmod\,2)\big),
usando a associatividade das adições modulares e a regra (-1)^{\varepsilon}(-1)^{\delta}=(-1)^{\varepsilon+\delta}. Logo a operação é associativa.
  1. Elemento neutro: (0,0) é neutro, pois
(0,0)(a,\varepsilon)=(0+(-1)^0 a,0+\varepsilon)=(a,\varepsilon)
e simetricamente à direita.
  1. Inversos: para (a,\varepsilon) o inverso é (-(-1)^{\varepsilon}a,\varepsilon), porque
(a,\varepsilon)\big(-(-1)^{\varepsilon}a,\varepsilon\big)=(a+(-1)^{\varepsilon}(-(-1)^{\varepsilon}a),\\\ 0)=(0,0).
Assim todo elemento tem inverso.
Portanto G é um grupo.

Passo 4

Contar elementos: \#\mathbb{Z}_n=n e \#\mathbb{Z}_2=2, logo o produto cartesiano tem n\cdot 2=2n elementos. Assim |G|=2n.

Passo 5

Exibir geradores e relações que mostram a semelhança com S_3 e a natureza não abeliana.
Defina os elementos
r=(1,0)\in G,\qquad s=(0,1)\in G.
Calcule potências e conjugações:
  • r^k=(k,0) para k\in\mathbb{Z}, portanto r^n=(n,0)=(0,0) é a identidade, isto é r tem ordem n.
  • s^2=(0,1)(0,1)=(0+(-1)^1\cdot 0,0)=(0,0), logo s tem ordem 2.
  • Conjugação de r por s:
srs = (0,1)(1,0)(0,1).
Usando a regra de multiplicação,
(0,1)(1,0)=(0+(-1)^1\cdot 1,\\\ 1) =(-1,1)=(n-1,1)
e então
(n-1,1)(0,1)=(n-1+(-1)^1\cdot 0,0)=(n-1,0)=(-1,0)=r^{-1}.
Portanto srs=r^{-1}. Essas são exatamente as relações sugeridas (tipo S_3): r^n=e, s^2=e, srs=r^{-1}.

Passo 6

Provar que o grupo é não abeliano para n>2.
Mostramos que rs\neq sr quando n>2. Calcule:
rs=(1,0)(0,1)=(1+(-1)^0\cdot 0,1)=(1,1),
enquanto
sr=(0,1)(1,0)=(0+(-1)^1\cdot 1,1)=(-1,1)=(n-1,1).
Como (1,1)\neq(n-1,1) em \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_2 salvo quando 1\equiv -1\pmod n, isto é, salvo quando 2\equiv 0\pmod n (o que força n\in\{1,2\}), concluímos que para todo n>2 tem-se rs\neq sr. Logo G é não abeliano sempre que n>2.

Passo 7

Comentário adicional (ajuda para a prova): a construção acima é o grupo diedral D_n. Alternativamente, pode-se apresentar D_n por apresentação
\langle r,s \mid r^n=e,\\ s^2=e,\\ srs=r^{-1}\rangle,
ou ver G como o produto semidireto \mathbb{Z}_n\rtimes\mathbb{Z}_2 em que o gerador de \mathbb{Z}_2 age sobre \mathbb{Z}_n por x\mapsto -x. Para n=3 este grupo é isomorfo a S_3, que é a motivação da sugestão do enunciado.

Resposta

\langle r,s \mid r^n=e,\\ s^2=e,\\ srs=r^{-1}\rangle (o grupo diedral D_n), que tem ordem 2n e é não abeliano para todo n>2.

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