*6. Se G é um grupo e H e K são dois subgrupos de G de índices finitos em G, demonstrar que H \cap K é de indice finito em G. Pode-se encontrar um limite superior para o indice de H \cap K em G ?
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumo claro, pegue tudo que serve):
Dado: G é um grupo e H e K são subgrupos de G.
Hipótese importante: os índices [G:H] e [G:K] são finitos. Vou anotar [G:H]=m e [G:K]=n (ambos \in\mathbb{N}).
Pedido: mostrar que H\cap K também tem índice finito em G.
Pedido adicional: encontrar um limite superior (um bound) para o índice [G: H\cap K].
Passo 2
Relembrando o que é índice e cosets (aula curtinha e prática):
O índice [G:H] é o número de classes laterais (cosets) à direita de H em G, isto é, o número do conjunto G/H=\{gH: g\in G\}.
Pela hipótese, os conjuntos G/H e G/K são finitos com |G/H|=m e |G/K|=n.
Queremos olhar para G/(H\cap K)=\{g(H\cap K):g\in G\} e mostrar que esse conjunto também é finito e estimar seu tamanho. A estratégia natural é comparar as classes de H\cap K com as classes de H e de K.
Passo 3
Construção da aplicação que compara cosets e demonstração de injetividade (truque padrão):
Primeiro precisamos ver que \Phi está bem definida: se g(H\cap K)=g'(H\cap K), então g^{-1}g'\in H\cap K. Assim g^{-1}g'\in H e g^{-1}g'\in K, de onde gH=g'H e gK=g'K. Logo \Phi(g(H\cap K))=\Phi(g'(H\cap K)).
Agora a injetividade: suponha \Phi(g(H\cap K))=\Phi(g'(H\cap K)). Então gH=g'H e gK=g'K. Isso significa que g^{-1}g'\in H e g^{-1}g'\in K, portanto g^{-1}g'\in H\cap K. Assim g(H\cap K)=g'(H\cap K). Concluímos que \Phi é injetora.
Passo 4
Conclusão sobre finitude e o limite superior:
Como \Phi é injetora, o conjunto G/(H\cap K) injeta em (G/H)\times(G/K). Portanto
Esse mapa é bem definido e injetor: se h(H\cap K) vai para a mesma classe que h'(H\cap K), então h^{-1}h'\in K e também h^{-1}h'\in H, logo h^{-1}h'\in H\cap K, o que mostra injetividade.
Assim [H: H\cap K] \le |G/K| = [G:K].
Substituindo na fórmula em cadeia obtém-se novamente
Comentários finais, exemplo e observações intuitivas (meio amigo querendo te animar):
O limite [G:H\cap K]\le [G:H][G:K] é simples e suficiente para a maioria das provas rápidas.
Esse limite pode ser atingido: por exemplo, se [G:H]=m e [G:K]=n com \gcd(m,n)=1, é comum haver casos onde [G:H\cap K]=mn. Um exemplo concreto é G=\mathbb{Z}, H=m\mathbb{Z}, K=n\mathbb{Z} com m,n primos entre si; então [G:H\cap K]=\operatorname{lcm}(m,n)=mn.
Em outros casos o índice pode ser bem menor: no mesmo exemplo de \mathbb{Z} temos [G:H\cap K]=\operatorname{lcm}(m,n), que geralmente é \le mn e pode ser estritamente menor quando m e n têm fatores em comum.
Resposta
H\cap K tem índice finito em G. [G: H\cap K]\le [G:H]\,[G:K].