*6. Se G é um grupo e H e K são dois subgrupos de G de índices finitos em G, demonstrar que H \cap K é de indice finito em G. Pode-se encontrar um limite superior para o indice de H \cap K em G ?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumo claro, pegue tudo que serve):
  • Dado: G é um grupo e H e K são subgrupos de G.
  • Hipótese importante: os índices [G:H] e [G:K] são finitos. Vou anotar [G:H]=m e [G:K]=n (ambos \in\mathbb{N}).
  • Pedido: mostrar que H\cap K também tem índice finito em G.
  • Pedido adicional: encontrar um limite superior (um bound) para o índice [G: H\cap K].

Passo 2

Relembrando o que é índice e cosets (aula curtinha e prática):
  • O índice [G:H] é o número de classes laterais (cosets) à direita de H em G, isto é, o número do conjunto G/H=\{gH: g\in G\}.
  • Pela hipótese, os conjuntos G/H e G/K são finitos com |G/H|=m e |G/K|=n.
  • Queremos olhar para G/(H\cap K)=\{g(H\cap K):g\in G\} e mostrar que esse conjunto também é finito e estimar seu tamanho. A estratégia natural é comparar as classes de H\cap K com as classes de H e de K.

Passo 3

Construção da aplicação que compara cosets e demonstração de injetividade (truque padrão):
  • Defina a aplicação
\Phi: \; G/(H\cap K)\longrightarrow (G/H)\times (G/K)
por
\Phi\bigl(g(H\cap K)\bigr)=\bigl(gH,\;gK\bigr).
  • Primeiro precisamos ver que \Phi está bem definida: se g(H\cap K)=g'(H\cap K), então g^{-1}g'\in H\cap K. Assim g^{-1}g'\in H e g^{-1}g'\in K, de onde gH=g'H e gK=g'K. Logo \Phi(g(H\cap K))=\Phi(g'(H\cap K)).
  • Agora a injetividade: suponha \Phi(g(H\cap K))=\Phi(g'(H\cap K)). Então gH=g'H e gK=g'K. Isso significa que g^{-1}g'\in H e g^{-1}g'\in K, portanto g^{-1}g'\in H\cap K. Assim g(H\cap K)=g'(H\cap K). Concluímos que \Phi é injetora.

Passo 4

Conclusão sobre finitude e o limite superior:
  • Como \Phi é injetora, o conjunto G/(H\cap K) injeta em (G/H)\times(G/K). Portanto
\bigl|G/(H\cap K)\bigr|\le \bigl|G/H\bigr|\cdot\bigl|G/K\bigr|.
  • Em termos de índices isso é
[G: H\cap K] \le [G:H]\,[G:K].
  • Como o lado direito é finito (produto de m por n), segue que [G:H\cap K] é finito. Isso prova o primeiro pedido e fornece o limite superior procurado.

Passo 5

Prova alternativa (mais “contável”) que dá a mesma desigualdade — útil para prova de exame:
  • Comece pela fórmula básica de índices em cadeia:
[G: H\cap K] = [G:H]\,[H: H\cap K].
(Explicação: particione G em H-cosets; cada H-coset se particiona em H\cap K-cosets; o número total é produto.)
  • Agora observe o mapa natural
\Psi:\; H/(H\cap K)\longrightarrow G/K,\qquad \Psi\bigl(h(H\cap K)\bigr)=hK.
Esse mapa é bem definido e injetor: se h(H\cap K) vai para a mesma classe que h'(H\cap K), então h^{-1}h'\in K e também h^{-1}h'\in H, logo h^{-1}h'\in H\cap K, o que mostra injetividade.
  • Assim [H: H\cap K] \le |G/K| = [G:K].
  • Substituindo na fórmula em cadeia obtém-se novamente
[G: H\cap K] = [G:H]\,[H: H\cap K] \le [G:H]\,[G:K].

Passo 6

Comentários finais, exemplo e observações intuitivas (meio amigo querendo te animar):
  • O limite [G:H\cap K]\le [G:H][G:K] é simples e suficiente para a maioria das provas rápidas.
  • Esse limite pode ser atingido: por exemplo, se [G:H]=m e [G:K]=n com \gcd(m,n)=1, é comum haver casos onde [G:H\cap K]=mn. Um exemplo concreto é G=\mathbb{Z}, H=m\mathbb{Z}, K=n\mathbb{Z} com m,n primos entre si; então [G:H\cap K]=\operatorname{lcm}(m,n)=mn.
  • Em outros casos o índice pode ser bem menor: no mesmo exemplo de \mathbb{Z} temos [G:H\cap K]=\operatorname{lcm}(m,n), que geralmente é \le mn e pode ser estritamente menor quando m e n têm fatores em comum.

Resposta

H\cap K tem índice finito em G.
[G: H\cap K]\le [G:H]\,[G:K].

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