No Problema 14 demonstrar, por meio de um exemplo, que se se admitisse válida apenas uma das leis do cancelamento, então não se pode concluir que
é um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por meio de um exemplo, que se se admitisse válida apenas uma das leis do cancelamento então não se pode concluir que
é um grupo.
Informações/dados relevantes (o que o enunciado exige):
- Deve ser dado um exemplo concreto de uma estrutura
com operação binária associativa. - Nessa estrutura apenas uma das leis do cancelamento (esquerda ou direita) deve ser válida para todos os elementos.
- A estrutura não deve ser um grupo (ou seja, falta identidade ou inversos), mostrando assim que uma única lei de cancelamento não basta para garantir que
é um grupo.
Passo 2
Vamos lembrar com clareza as definições que vamos usar (só definições; nada ainda sendo assumido como verdadeiro no exemplo):
- Uma operação binária
em um conjunto é associativa se, para todos ,
- A lei de cancelamento à esquerda diz que, para todo
, se
então
- A lei de cancelamento à direita diz que, para todo
, se
então
- Um elemento
é identidade se, para todo ,
- Um conjunto
com operação associativa é um grupo se existir identidade e, para todo , existir tal que
Nosso objetivo: construir uma
associativa em que apenas uma das leis de cancelamento valha, e mostrar que não existe identidade (portanto não é grupo).
Passo 3
Construção do exemplo. Tome
com
. Defina a operação
por
Em palavras: o produto devolve sempre o primeiro fator (projeção na primeira coordenada).
Agora vamos verificar propriedades desta estrutura passo a passo.
Passo 4
Verificar associatividade.
Calculemos
e
. Pelo modo de definição,
e
Como os dois são iguais para todo
, a operação é associativa:
Passo 5
Verificar qual lei de cancelamento vale.
- Direito (cancellation à direita): suponha
para algum . Pelo modo de definição,
Então
implica
. Logo a lei de cancelamento à direita vale para todos os
.
- Esquerdo (cancellation à esquerda): existe um contraexemplo. Tome
, (com ) e fixe qualquer . Então
logo
embora
em geral. Assim a lei de cancelamento à esquerda falha (não é verdadeira para todos os elementos).
Portanto, nesta estrutura apenas a lei de cancelamento à direita é válida; a da esquerda não.
Passo 6
Mostrar que não existe identidade (portanto não é grupo).
Suponha, por contradição, que exista
identidade. Pela definição da operação, para todo
temos
(isto é verdade para qualquer
por definição). A outra condição da identidade exige também
Mas por definição
. Logo a condição
é satisfeita para todo
apenas se
para todo
, o que é impossível quando
tem pelo menos dois elementos. Portanto não existe identidade em
.
Sem identidade não há inversos (a existência de inverso exige a identidade), então
não é um grupo.
Passo 7
Conclusão e interpretação didática.
- Construímos uma estrutura associativa
onde apenas a lei de cancelamento à direita é verdadeira. - Mostramos explicitamente que não existe identidade e, portanto, não existem inversos; logo não é grupo.
- Conclusão: admitir apenas uma das leis de cancelamento (aqui, a direita) é insuficiente para garantir que
é um grupo. É preciso mais (por exemplo a existência de identidade, ou ambas as leis de cancelamento em conjunto com outros axiomas) para deduzir que a estrutura é um grupo.
Resposta
Um exemplo concreto é
(com
) com a operação definida por
para todos
. A operação é associativa e satisfaz a lei de cancelamento à direita (mas não à esquerda), não possui elemento identidade e, portanto,
não é um grupo.