No Problema 14 demonstrar, por meio de um exemplo, que se se admitisse válida apenas uma das leis do cancelamento, então não se pode concluir que G é um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por meio de um exemplo, que se se admitisse válida apenas uma das leis do cancelamento então não se pode concluir que G é um grupo.
Informações/dados relevantes (o que o enunciado exige):
  • Deve ser dado um exemplo concreto de uma estrutura (G,\ast) com operação binária associativa.
  • Nessa estrutura apenas uma das leis do cancelamento (esquerda ou direita) deve ser válida para todos os elementos.
  • A estrutura não deve ser um grupo (ou seja, falta identidade ou inversos), mostrando assim que uma única lei de cancelamento não basta para garantir que G é um grupo.

Passo 2

Vamos lembrar com clareza as definições que vamos usar (só definições; nada ainda sendo assumido como verdadeiro no exemplo):
  • Uma operação binária \ast em um conjunto G é associativa se, para todos x,y,z\in G,
(x\ast y)\ast z = x\ast(y\ast z).
  • A lei de cancelamento à esquerda diz que, para todo a\in G, se
a\ast x = a\ast y
então
x = y.
  • A lei de cancelamento à direita diz que, para todo a\in G, se
x\ast a = y\ast a
então
x = y.
  • Um elemento e\in G é identidade se, para todo x\in G,
e\ast x = x\quad\text{e}\quad x\ast e = x.
  • Um conjunto G com operação associativa \ast é um grupo se existir identidade e e, para todo x\in G, existir x^{-1}\in G tal que
x\ast x^{-1} = x^{-1}\ast x = e.
Nosso objetivo: construir uma (G,\ast) associativa em que apenas uma das leis de cancelamento valha, e mostrar que não existe identidade (portanto não é grupo).

Passo 3

Construção do exemplo. Tome G=\{a,b\} com a\neq b. Defina a operação \ast por
x\ast y = x\quad\text{para todos }x,y\in G.
Em palavras: o produto devolve sempre o primeiro fator (projeção na primeira coordenada).
Agora vamos verificar propriedades desta estrutura passo a passo.

Passo 4

Verificar associatividade.
Calculemos (x\ast y)\ast z e x\ast(y\ast z). Pelo modo de definição,
(x\ast y)\ast z = x\ast z = x,
e
x\ast(y\ast z) = x\ast y = x.
Como os dois são iguais para todo x,y,z\in G, a operação é associativa:
(x\ast y)\ast z = x\ast(y\ast z)=x.

Passo 5

Verificar qual lei de cancelamento vale.
  • Direito (cancellation à direita): suponha x\ast c = y\ast c para algum c\in G. Pelo modo de definição,
x\ast c = x,\qquad y\ast c = y.
Então x\ast c = y\ast c implica x=y. Logo a lei de cancelamento à direita vale para todos os c\in G.
  • Esquerdo (cancellation à esquerda): existe um contraexemplo. Tome x=a, y=b (com a\ne b) e fixe qualquer c\in G. Então
a\ast c = a,\qquad a\ast a = a,
logo a\ast c = a\ast a embora c\neq a em geral. Assim a lei de cancelamento à esquerda falha (não é verdadeira para todos os elementos).
Portanto, nesta estrutura apenas a lei de cancelamento à direita é válida; a da esquerda não.

Passo 6

Mostrar que não existe identidade (portanto não é grupo).
Suponha, por contradição, que exista e\in G identidade. Pela definição da operação, para todo x\in G temos
x\ast e = x
(isto é verdade para qualquer e por definição). A outra condição da identidade exige também
e\ast x = x\quad\text{para todo }x\in G.
Mas por definição e\ast x = e. Logo a condição e\ast x = x é satisfeita para todo x apenas se e=x para todo x\in G, o que é impossível quando G tem pelo menos dois elementos. Portanto não existe identidade em G.
Sem identidade não há inversos (a existência de inverso exige a identidade), então (G,\ast) não é um grupo.

Passo 7

Conclusão e interpretação didática.
  • Construímos uma estrutura associativa (G,\ast) onde apenas a lei de cancelamento à direita é verdadeira.
  • Mostramos explicitamente que não existe identidade e, portanto, não existem inversos; logo não é grupo.
  • Conclusão: admitir apenas uma das leis de cancelamento (aqui, a direita) é insuficiente para garantir que G é um grupo. É preciso mais (por exemplo a existência de identidade, ou ambas as leis de cancelamento em conjunto com outros axiomas) para deduzir que a estrutura é um grupo.

Resposta

Um exemplo concreto é G=\{a,b\} (com a\neq b) com a operação definida por x\ast y=x para todos x,y\in G. A operação é associativa e satisfaz a lei de cancelamento à direita (mas não à esquerda), não possui elemento identidade e, portanto, G não é um grupo.

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