Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) todos os alunos de informática são alunos de português.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) nenhum aluno de português é aluno de matemática. c
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) todos os alunos de informática são alunos de português.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) nenhum aluno de português é aluno de matemática. c
Passo 1
Resumindo o enunciado em termos de conjuntos:
– Seja o conjunto de alunos de matemática,
de inglês,
de história,
de português e
de informática.
– As hipóteses são:
– Seja
– As hipóteses são:
- Todos os alunos de matemática também são alunos de inglês:
. - Nenhum aluno de inglês é aluno de história:
. - Todos os alunos de português também são alunos de informática:
. - Alguns alunos de informática são alunos de história:
. - Nenhum aluno de informática é aluno de inglês:
. - Nenhum aluno de português é aluno de história:
.
Vamos verificar, sob essas condições, qual das alternativas é necessariamente verdadeira.
Passo 2
Do fato
e
obtemos
Logo, não pode haver nenhum aluno que seja simultaneamente de português e de inglês.
Passo 3
Do fato
e
obtemos
Então não pode haver nenhum aluno de matemática que seja de história.
Passo 4
Para checar a relação entre
e
, suponha que exista
.
Então e
, implicando
.
Mas sabemos que .
Isso é uma contradição, logo
Então
Mas sabemos que
Isso é uma contradição, logo
Passo 5
Agora avaliamos cada alternativa:
a) “pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.”
Requer , mas vimos que
. Falsa.
Requer
b) “pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.”
Requer , mas
. Falsa.
Requer
c) “todos os alunos de informática são alunos de português.”
Requer , mas só temos
. Falsa.
Requer
d) “todos os alunos de informática são alunos de matemática.”
Requer . Como
e
, há elementos de
fora de
. Falsa.
Requer
e) “nenhum aluno de português é aluno de matemática.”
Isso significa , exatamente o que demonstramos. Verdadeira.
Isso significa
Resposta
e) nenhum aluno de português é aluno de matemática.