Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) todos os alunos de informática são alunos de português.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) nenhum aluno de português é aluno de matemática. c

Passo 1

Resumindo o enunciado em termos de conjuntos:
– Seja M o conjunto de alunos de matemática, E de inglês, H de história, P de português e I de informática.
– As hipóteses são:
  1. Todos os alunos de matemática também são alunos de inglês: M \subset E.
  2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história: E \cap H = \emptyset.
  3. Todos os alunos de português também são alunos de informática: P \subset I.
  4. Alguns alunos de informática são alunos de história: I \cap H \neq \emptyset.
  5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês: I \cap E = \emptyset.
  6. Nenhum aluno de português é aluno de história: P \cap H = \emptyset.
    Vamos verificar, sob essas condições, qual das alternativas é necessariamente verdadeira.

Passo 2

Do fato P \subset I e I \cap E = \emptyset obtemos
P \cap E = \emptyset.
Logo, não pode haver nenhum aluno que seja simultaneamente de português e de inglês.

Passo 3

Do fato M \subset E e E \cap H = \emptyset obtemos
M \cap H = \emptyset.
Então não pode haver nenhum aluno de matemática que seja de história.

Passo 4

Para checar a relação entre P e M, suponha que exista x\in P\cap M.
Então x\in P\subset I e x\in M\subset E, implicando x\in I\cap E.
Mas sabemos que I\cap E=\emptyset.
Isso é uma contradição, logo
P \cap M = \emptyset.

Passo 5

Agora avaliamos cada alternativa:
a) “pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.”
Requer P\cap E\neq\emptyset, mas vimos que P\cap E=\emptyset. Falsa.
b) “pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.”
Requer M\cap H\neq\emptyset, mas M\cap H=\emptyset. Falsa.
c) “todos os alunos de informática são alunos de português.”
Requer I\subset P, mas só temos P\subset I. Falsa.
d) “todos os alunos de informática são alunos de matemática.”
Requer I\subset M. Como I\cap H\neq\emptyset e M\cap H=\emptyset, há elementos de I fora de M. Falsa.
e) “nenhum aluno de português é aluno de matemática.”
Isso significa P\cap M=\emptyset, exatamente o que demonstramos. Verdadeira.

Resposta

e) nenhum aluno de português é aluno de matemática.

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