Se todos os valores de um conjunto de dados são multiplicados por 3, o que acontece com o desvio padrão?

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto de dados com desvio padrão original \sigma e que todos os valores desse conjunto são multiplicados por 3. A pergunta é: como isso afeta o desvio padrão? O conteúdo aqui é estatística descritiva, mais precisamente a propriedade do desvio padrão sob transformação linear de escala.

Passo 2

Seja \{x_i\}_{i=1}^n o conjunto original com média \bar{x} e desvio padrão
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}.
Definimos o novo conjunto \{y_i\}_{i=1}^n onde
y_i = 3\,x_i.
A média desse novo conjunto é \bar{y}=3\,\bar{x} e a variância é
\mathrm{Var}(Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (3x_i - 3\bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n 9\,(x_i - \bar{x})^2 = 9\,\mathrm{Var}(X).
Portanto, o novo desvio padrão é
\sigma_Y = \sqrt{\mathrm{Var}(Y)} = \sqrt{9\,\mathrm{Var}(X)} = 3\,\sqrt{\mathrm{Var}(X)} = 3\,\sigma.

Resposta

O desvio padrão é multiplicado por 3.

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