Tomando o zero de referência para o potencial no infinito, calcule o potencial em (0,2,2) causado por essa configuração de cargas no espaço livre
12 \mathrm{nC} / \mathrm{m} na linha \rho=2,5 \mathrm{~m}, z=0;

Passo 1

O enunciado dá um anel de carga com densidade linear \lambda=12\times10^{-9}\,\mathrm C/\mathrm m, raio R=2,5\,\mathrm m, localizado no plano z=0. Pede-se o potencial elétrico em P=(0,2,2). Aqui vamos usar a fórmula do potencial
V(P)=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{\text{anel}}\frac{dl'}{\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert}
e reconhecer que a integral se reduz a uma forma em termos da integral elíptica completa de primeira espécie.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o ponto P tem \rho=2, \phi_P=\pi/2, z=2, e o elemento de linha do anel é dl'=R\,d\varphi'. Assim
V(P) =\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \frac{R\,d\varphi'}{\sqrt{R^2+\rho^2-2R\rho\cos(\varphi'-\phi_P)+z^2}}
Substituindo \phi_P=\pi/2 e fixando R=2,5, \rho=2, z=2, vemos que o denominador fica \sqrt{A - B\sin\varphi'}, mas o resultado final é obtido por integral elíptica.

Passo 3

Definimos
\alpha=(R+\rho)^2+z^2, \qquad k^2=\frac{4R\rho}{\alpha}.
A integral resulta na forma conhecida
V(P) =\frac{\lambda\,R}{\pi\,\epsilon_0\sqrt{\alpha}}\;K(k),
onde K(k) é a integral elíptica completa de primeira espécie de parâmetro k.

Passo 4

Calculamos
\alpha=(2,5+2)^2+2^2=24,25, \quad \sqrt{\alpha}\approx4,924, \quad k^2=\frac{4\cdot2,5\cdot2}{24,25}\approx0,8258, \quad k\approx0,9088,
e pelo valor tabelado ou por software K(k)\approx2,36.

Passo 5

Substituindo valores numéricos em
V =\frac{\lambda\,R}{\pi\,\epsilon_0\sqrt{\alpha}}\,K(k)
temos
V\approx \frac{12\times10^{-9}\times2,5}{\pi\times8,854\times10^{-12}\times4,924}\times2,36 \approx5,17\times10^{2}\\ \mathrm V.

Resposta

V\approx5,2\times10^{2}\\ \mathrm V

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