Seja uma barra fina não-homogênea de comprimento L e cuja massa está distribuída de acordo com a densidade linear \lambda=a x^{1 / 3}, sendo a uma constante conhecida. Determine:
(a) as unidades de a no SI;
(b) a massa total, M:
(c) a posição do centro de massa, x_{\text {cm}}
(d) o seu momento de inércia I_{p} quando ela gira em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pela sua extremidade em x=0;
(e) o seu momento de inércia quando ela gira em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro de massa.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra de comprimento L com densidade linear não-homogênea
\lambda(x)=a\,x^{1/3},
onde a é uma constante. Vamos usar conceitos de análise dimensional para (a), e integração de densidade para obter a massa total em (b), o centro de massa em (c) e os momentos de inércia em (d) e (e).

Passo 2

Para achar as unidades de a, observamos que \lambda tem unidades de massa por comprimento, ou seja, \mathrm{kg/m}, e que x^{1/3} tem unidade \mathrm{m}^{1/3}. Logo, de
\lambda=a\,x^{1/3}
vem
[a]=\frac{\mathrm{kg/m}}{\mathrm{m}^{1/3}}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4/3}.

Passo 3

A massa total M é
M=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{L}a\,x^{1/3}\,\mathrm{d}x =a\left[\frac{3}{4}x^{4/3}\right]_{0}^{L} =\frac{3}{4}\,a\,L^{4/3}.

Passo 4

O centro de massa é dado por
x_{\mathrm{cm}} =\frac{1}{M}\int_{0}^{L}x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x =\frac{a}{M}\int_{0}^{L}x^{4/3}\,\mathrm{d}x =\frac{a}{M}\left[\frac{3}{7}x^{7/3}\right]_{0}^{L} =\frac{\tfrac{3}{7}a\,L^{7/3}}{\tfrac{3}{4}a\,L^{4/3}} =\frac{4}{7}\,L.

Passo 5

O momento de inércia em torno do eixo na extremidade x=0 é
I_{0} =\int_{0}^{L}x^{2}\,\mathrm{d}m =\int_{0}^{L}x^{2}\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x =a\int_{0}^{L}x^{7/3}\,\mathrm{d}x =a\left[\frac{3}{10}x^{10/3}\right]_{0}^{L} =\frac{3}{10}\,a\,L^{10/3}.

Passo 6

Pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner), o momento de inércia em torno de um eixo no centro de massa é
I_{\mathrm{cm}} =I_{0}-M\,x_{\mathrm{cm}}^{2} =\frac{3}{10}a\,L^{10/3} -\Bigl(\tfrac{3}{4}a\,L^{4/3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{4}{7}L\Bigr)^{2} =\frac{27}{490}\,a\,L^{10/3}.

Resposta

(a) \mathrm{[}a\mathrm{]}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4/3}.
(b) M=\tfrac{3}{4}\,a\,L^{4/3}.
(c) x_{\mathrm{cm}}=\tfrac{4}{7}\,L.
(d) I_{0}=\tfrac{3}{10}\,a\,L^{10/3}.
(e) I_{\mathrm{cm}}=\tfrac{27}{490}\,a\,L^{10/3}.

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