Seja uma barra fina não-homogênea de comprimento
e cuja massa está distribuída de acordo com a densidade linear
, sendo a uma constante conhecida. Determine:
(a) as unidades de a no SI;
(b) a massa total, M:
(c) a posição do centro de massa,
(d) o seu momento de inércia
quando ela gira em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pela sua extremidade em
;
(e) o seu momento de inércia quando ela gira em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro de massa.
(a) as unidades de a no SI;
(b) a massa total, M:
(c) a posição do centro de massa,
(d) o seu momento de inércia
(e) o seu momento de inércia quando ela gira em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro de massa.
Passo 1
O enunciado descreve uma barra de comprimento
com densidade linear não-homogênea
onde
é uma constante. Vamos usar conceitos de análise dimensional para (a), e integração de densidade para obter a massa total em (b), o centro de massa em (c) e os momentos de inércia em (d) e (e).
Passo 2
Para achar as unidades de
, observamos que
tem unidades de massa por comprimento, ou seja,
, e que
tem unidade
. Logo, de
vem
Passo 3
A massa total
é
Passo 4
O centro de massa é dado por
Passo 5
O momento de inércia em torno do eixo na extremidade
é
Passo 6
Pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner), o momento de inércia em torno de um eixo no centro de massa é
Resposta
(a)
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)