Considere dois discos finos homogêneos A e B que podem girar livremente em torno de um eixo fixo perpendicular ao seu centro. Ambos os discos possuem a mesma massa, porém raios diferentes: R_{B}=2 R_{A}. Inicialmente, ambos os discos estão em repouso. Em um dado instante, um torque constante \overrightarrow{7}, orientado ao longo do eixo de rotação, passa a atuar sobre cada disco. Uma estudante de engenharia faz a seguinte afirmação sobre essa situação:
-Considerando o tempo que cada disco leva para atingir uma determinada velocidade angular, o disco A levará um quarto do tempo que o disco B levará para atingir a mesma velocidade angular."
Re-avalie se a afirmação da estudante está certa ou errada e justifique sua decisão.

Passo 1

O enunciado tem dois discos finos homogêneos A e B com mesma massa m e raios tais que R_{B}=2R_{A}. Ambos partem do repouso e recebem o mesmo torque constante \tau. A estudante afirma que, para atingir uma mesma velocidade angular \omega, o disco A leva um quarto do tempo que o disco B leva. Vamos usar dinâmica rotacional (torque, momento de inércia e aceleração angular) para checar essa afirmação.

Passo 2

O momento de inércia de um disco fino de massa m e raio R em torno de seu eixo é
I = \tfrac12\,m\,R^2.
Logo, para cada disco:
I_A = \tfrac12\,m\,R_A^2, \qquad I_B = \tfrac12\,m\,(2R_A)^2 = 2\,m\,R_A^2 = 4\,I_A.

Passo 3

A aceleração angular \alpha é dada por
\alpha = \frac{\tau}{I}.
Assim
\alpha_A = \frac{\tau}{I_A}, \quad \alpha_B = \frac{\tau}{I_B} = \frac{\tau}{4\,I_A} = \frac{1}{4}\,\alpha_A.

Passo 4

Para um corpo partir do repouso e alcançar uma velocidade angular \omega sob aceleração constante \alpha, o tempo necessário é
t = \frac{\omega}{\alpha}.
Logo
t_A = \frac{\omega}{\alpha_A}, \quad t_B = \frac{\omega}{\alpha_B} = \frac{\omega}{\alpha_A/4} = 4\,\frac{\omega}{\alpha_A} = 4\,t_A.
Isto é,
\frac{t_A}{t_B} = \frac{1}{4},
ou seja, t_A é um quarto de t_B.

Resposta

A afirmação da estudante está correta.

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