Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Desigualdade triangular generalizada:
\left|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right| \leq\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|,
para quaisquer a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define o valor absoluto de um real x\) por \[|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0,\\\\ -\,x, & x<0, \end{cases}
e pede para mostrar que, dados quaisquer reais a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\], vale a desigualdade \[\bigl|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\bigr|\le |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|.\] O conteúdo-chave é a desigualdade triangular para dois termos e depois estender por indução ao caso de \(n termos.

Passo 2

Primeiro provamos a desigualdade triangular para dois números reais a e b. Sabemos que
-\,|a|\le a\le |a| \quad\text{e}\quad -\,|b|\le b\le |b|.
Somando membro a membro,
-\,\bigl(|a|+|b|\bigr)\;\le\;a+b\;\le\;|a|+|b|.
Pela definição de valor absoluto, isso significa exatamente
|a+b|\le |a|+|b|.

Passo 3

Agora estendemos para n termos por indução.
Caso base ( n=1):
\bigl|a_{1}\bigr| \le |a_{1}|,
que é trivial.
Passo indutivo: suponha que para n-1 números a desigualdade já valha, ou seja,
\bigl|a_{1}+\cdots+a_{n-1}\bigr|\le |a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|.
Considere n termos. Defina
S = a_{1}+\cdots+a_{n-1}.
Então, usando a desigualdade triangular de dois termos ( S e a_{n}), temos
\bigl|S + a_{n}\bigr|\le |S| + |a_{n}|.
Pela hipótese de indução, |S|\le |a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|. Logo
\bigl|a_{1}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}\bigr| = \bigl|S+a_{n}\bigr| \le \bigl(|a_{1}|+\cdots+|a_{n-1}|\bigr) + |a_{n}| = \sum_{i=1}^{n}|a_{i}|.
Isso fecha a indução.

Resposta

\boxed{\bigl|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\bigr|\le |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots+|a_{n}|\,.}

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