Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Desigualdade triangular:
|a+b| \leq|a|+|b|,
para quaisquer a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade triangular, que é
|a+b|\le|a|+|b|
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}. Vamos usar a definição de valor absoluto e a propriedade básica de que, para todo x\in\mathbb{R},
-|x|\le x\le|x|.

Passo 2

Pela propriedade -|x|\le x\le|x|, temos em particular
-|a|\le a\le|a| \quad\text{e}\quad -|b|\le b\le|b|.

Passo 3

Somando termo a termo as duas cadeias acima, obtemos
-(|a|+|b|)\;\le\;a+b\;\le\;|a|+|b|.

Passo 4

Pela definição de valor absoluto, |a+b| é justamente o maior entre a+b e -(a+b). Como ambas as quantidades estão abaixo de |a|+|b|, concluímos
|a+b|\le|a|+|b|.

Resposta

|a+b|\le|a|+|b|.

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