Use a Desigualdade de Bernoulli com r=-\frac{1}{2 n} para provar que
2^{\frac{1}{n}} \geq 1+\frac{1}{2 n-1}, \quad \text { para todo } n \in \mathbb{N} .

Passo 1

O enunciado pede para provar que
2^{\frac{1}{n}}\ge1+\frac{1}{2n-1},
para todo n\in\mathbb{N}, usando a Desigualdade de Bernoulli. O conteúdo principal é a forma da Desigualdade de Bernoulli para expoentes não positivos: se \alpha\le0 e t\ge-1, então
(1+t)^{\alpha}\ge1+\alpha\,t.
Vamos aplicar essa desigualdade com escolhas apropriadas de \alpha e t.

Passo 2

Escolhemos
\alpha=-2n \quad\text{e}\quad t=-\frac{1}{2n}.
Note que \alpha\le0 e t=-\tfrac1{2n}\ge-1 (pois -1<-\tfrac1{2n}<0). Assim, pela Desigualdade de Bernoulli,
\bigl(1+t\bigr)^{-2n}\;\ge\;1+(-2n)\,t \;=\;1-2n\cdot\Bigl(-\frac1{2n}\Bigr) \;=\;2.

Passo 3

Da desigualdade
\bigl(1+t\bigr)^{-2n}\ge2
tiramos que
1+t\le2^{-\frac1{2n}} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{1+t}\ge2^{\frac1{2n}}.
Aqui usamos que 1+t>0, pois t=-\tfrac1{2n}>-1.

Passo 4

Elevando ao quadrado a desigualdade \tfrac1{1+t}\ge2^{\frac1{2n}}, obtemos
\frac1{(1+t)^2}\;\ge\;2^{\frac1n}.
Mas 1+t=1-\frac1{2n}=\frac{2n-1}{2n}, logo
\frac1{(1+t)^2} =\frac1{\bigl(\frac{2n-1}{2n}\bigr)^2} =\frac{(2n)^2}{(2n-1)^2} =\frac{4n^2}{(2n-1)^2}.
Portanto concluímos
2^{\frac1n}\le\frac{4n^2}{(2n-1)^2} \quad\Longrightarrow\quad 2^{\frac1n}\ge\frac{4n^2}{(2n-1)^2}.

Passo 5

Resta mostrar que
\frac{4n^2}{(2n-1)^2}\;\ge\;1+\frac1{2n-1}.
Observe que
1+\frac1{2n-1} =\frac{2n}{2n-1},
de modo que queremos
\frac{4n^2}{(2n-1)^2}\ge\frac{2n}{2n-1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)^2>0, isso equivale a
4n^2\ge2n\,(2n-1) \;\Longleftrightarrow\; 4n^2\ge4n^2-2n \;\Longleftrightarrow\; 2n\ge0,
que é verdade para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 6

Combinando os resultados dos passos anteriores, temos
2^{\frac1n}\ge\frac{4n^2}{(2n-1)^2}\ge1+\frac1{2n-1},
o que encerra a demonstração.

Resposta

2^{\frac{1}{n}}\ge1+\frac{1}{2n-1},\quad\forall\,n\in\mathbb{N}.

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