Use a Desigualdade de Bernoulli com
para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para todo
, usando a Desigualdade de Bernoulli. O conteúdo principal é a forma da Desigualdade de Bernoulli para expoentes não positivos: se
e
, então
Vamos aplicar essa desigualdade com escolhas apropriadas de
e
.
Passo 2
Escolhemos
Note que
e
(pois
). Assim, pela Desigualdade de Bernoulli,
Passo 3
Da desigualdade
tiramos que
Aqui usamos que
, pois
.
Passo 4
Elevando ao quadrado a desigualdade
, obtemos
Mas
, logo
Portanto concluímos
Passo 5
Resta mostrar que
Observe que
de modo que queremos
Multiplicando ambos os lados por
, isso equivale a
que é verdade para todo
.
Passo 6
Combinando os resultados dos passos anteriores, temos
o que encerra a demonstração.