Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Sejam a e b números reais positivos. Mostre que a média harmônica
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)
é menor do que ou igual à média geométrica \sqrt{a b}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a>0 e b>0, a média harmônica
\frac{2}{\frac1a+\frac1b}
é menor ou igual à média geométrica \sqrt{ab}.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (AM–GM) e propriedades de manipulação de desigualdades (multiplicar, dividir ou inverter lados, lembrando que, ao inverter, a desigualdade se inverte).

Passo 2

Aplique a desigualdade AM–GM aos números positivos \frac1a e \frac1b:
\frac{\frac1a+\frac1b}{2}\;\ge\;\sqrt{\frac1a\cdot\frac1b} =\frac{1}{\sqrt{ab}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido), obtemos
\frac1a+\frac1b\;\ge\;\frac{2}{\sqrt{ab}}.

Passo 4

Agora invertendo ambos os lados da desigualdade (e, como se inverte, trocamos o sentido), tem-se
\frac{1}{\frac1a+\frac1b}\;\le\;\frac{\sqrt{ab}}{2}.
Multiplicando por 2 (positivo) fica
\frac{2}{\frac1a+\frac1b}\;\le\;\sqrt{ab}.

Resposta

\frac{2}{\frac1a+\frac1b}\;\le\;\sqrt{ab}.

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