Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Se a, b e c são números reais satisfazendo a<b<c então
|b|<|a|+|c|
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três reais satisfazendo a<b<c, vale a desigualdade
|b| < |a| + |c|.
O conteúdo principal aqui é usar a ideia de que b está estritamente entre a e c, representar b como combinação convexa de a e c e aplicar a desigualdade triangular.
Passo 2
Como a<b<c, defina
t = \frac{b - a}{\,c - a\,}.
Então 0 < t < 1 e, por projeção afim, temos
b = (1 - t)\,a + t\,c.
Passo 3
Aplicando a desigualdade triangular ao lado direito, obtemos