Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Dados números reais a e b tem-se
a^{2}+a b+b^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer reais a e b, vale
a^{2}+a b+b^{2}\ge0.
Para isso vamos usar o fato básico de que, para todo real x,
x^{2}\ge0,
e aplicar a técnica de completar o quadrado em a^{2}+a b+b^{2}.

Passo 2

Observe que
a^{2}+a b+b^{2} =\;a^{2}+a b+\frac{b^{2}}{4} \;+\; \frac{3b^{2}}{4} =\;\Bigl(a+\frac{b}{2}\Bigr)^{2} \;+\;\frac{3b^{2}}{4}.

Passo 3

Como \bigl(a+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}\ge0 e \tfrac{3b^{2}}{4}\ge0 para todo a,b\in\mathbb{R}, a soma
\Bigl(a+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2}+\tfrac{3b^{2}}{4}
também é não negativa. Logo
a^{2}+a b+b^{2}\ge0.

Resposta

\forall\,a,b\in\mathbb{R}:\quad a^{2}+a b+b^{2}\ge0.

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