1. Tópico 2: Três cargas pontuais Q_{1}, Q_{2} e Q_{3} de -4 \mathrm{mC},-7 \mathrm{mC} \mathrm{e}-6 \mathrm{mC} situadas no vácuo em (-1,-5), (-8,-3) e (4,-1), respectivamente.
b) Qual o vetor da força resultante na carga Q_{3} ? Faça uma análise crítica do resultado.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Qual o vetor da força resultante sobre a carga Q_{3}.
  • Fazer uma análise crítica do resultado.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Cargas: Q_{1}=-4\\ \mathrm{mC}, Q_{2}=-7\\ \mathrm{mC}, Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC}.
  • Posições (coord. cartesianas, assumidas em metros): Q_{1} em (-1,-5), Q_{2} em (-8,-3), Q_{3} em (4,-1).
  • Meio: vácuo (usar a constante eletrostática de Coulomb).
    O objetivo imediato: calcular a soma vetorial das forças que Q_{1} e Q_{2} exercem sobre Q_{3}, isto é \vec{F}_{\text{res}}=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}, e depois comentar o resultado.

Passo 2

Converter unidades e recordar a lei de Coulomb (a fórmula que vamos usar).
  • Converter cargas para coulombs: Q_{1}=-4\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\quad Q_{2}=-7\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\quad Q_{3}=-6\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
  • Constante eletrostática (valor aproximado que usarei para contas de prova): k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Lei de Coulomb vetorial: a força exercida por uma carga Q_{i} sobre Q_{3} é \vec{F}_{i3}=k\frac{Q_{i}Q_{3}}{r_{i3}^{2}}\hat{u}_{i3},onde:
    • r_{i3}=\lVert \vec{r}_{3}-\vec{r}_{i}\rVert é a distância entre Q_{i} e Q_{3}.
    • \hat{u}_{i3}=\dfrac{\vec{r}_{3}-\vec{r}_{i}}{r_{i3}} é o versor (direção) apontando de Q_{i} para Q_{3}.
      Observação de sinal/direção: se Q_{i}Q_{3}>0 (mesmo sinal) a força é repulsiva e aponta de Q_{i} para Q_{3}; se Q_{i}Q_{3}<0 é atrativa e aponta de Q_{3} para Q_{i}. Aqui todas as cargas são negativas, logo as interações são repulsivas e a direção é de Q_{i} para Q_{3}.

Passo 3

Calcular os vetores posição relativos e as distâncias (mostrando todas as contas).
  • Vetor de Q_{1} até Q_{3}: \vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}=(4-(-1),\\\ -1-(-5))=(5,\\\ 4).
r_{13}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\approx 6{,}4031\\ \mathrm{m}.
  • Vetor de Q_{2} até Q_{3}: \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}=(4-(-8),\\\ -1-(-3))=(12,\\\ 2).
r_{23}=\sqrt{12^{2}+2^{2}}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}\approx 12{,}1655\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular os versores (unitários) \hat{u}_{13} e \hat{u}_{23}.
  • Para Q_{1}\to Q_{3}: \hat{u}_{13}=\frac{(5,4)}{\sqrt{41}}=\Bigl(\frac{5}{\sqrt{41}},\frac{4}{\sqrt{41}}\Bigr)\approx(0{,}780869,\\\ 0{,}624695).
  • Para Q_{2}\to Q_{3}: \hat{u}_{23}=\frac{(12,2)}{\sqrt{148}}=\Bigl(\frac{12}{\sqrt{148}},\frac{2}{\sqrt{148}}\Bigr)\approx(0{,}98636,\\\ 0{,}16439).

Passo 5

Calcular as magnitudes das forças usando Coulomb (mostrando passo a passo).
  • Produto das cargas em módulo: |Q_{1}Q_{3}|=(4\times10^{-3})(6\times10^{-3})=24\times10^{-6}=2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{C^{2}}.
|Q_{2}Q_{3}|=(7\times10^{-3})(6\times10^{-3})=42\times10^{-6}=4{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Magnitude de \vec{F}_{13}: F_{13}=k\frac{|Q_{1}Q_{3}|}{r_{13}^{2}}=9{,}0\times10^{9}\frac{2{,}4\times10^{-5}}{41}.Calcular numericamente: 9{,}0\times10^{9}\cdot2{,}4\times10^{-5}=2{,}16\times10^{5}, \qquad F_{13}=\frac{2{,}16\times10^{5}}{41}\approx 5{,}273{,}17\\ \mathrm{N}.
  • Magnitude de \vec{F}_{23}: F_{23}=k\frac{|Q_{2}Q_{3}|}{r_{23}^{2}}=9{,}0\times10^{9}\frac{4{,}2\times10^{-5}}{148}.Calcular numericamente: 9{,}0\times10^{9}\cdot4{,}2\times10^{-5}=3{,}78\times10^{5}, \qquad F_{23}=\frac{3{,}78\times10^{5}}{148}\approx 2{,}554{,}05\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar as componentes vetoriais de cada força (multiplicar magnitude pelo versor).
  • Componentes de \vec{F}_{13}: \vec{F}_{13}=F_{13}\,\hat{u}_{13}\approx 5{,}273{,}17\cdot(0{,}780869,\\\ 0{,}624695).
F_{13,x}\approx 5{,}273{,}17\times0{,}780869\approx 4{,}117{,}10\\ \mathrm{N},
F_{13,y}\approx 5{,}273{,}17\times0{,}624695\approx 3{,}298{,}00\\ \mathrm{N}.
  • Componentes de \vec{F}_{23}: \vec{F}_{23}=F_{23}\,\hat{u}_{23}\approx 2{,}554{,}05\cdot(0{,}98636,\\\ 0{,}16439).
F_{23,x}\approx 2{,}554{,}05\times0{,}98636\approx 2{,}519{,}80\\ \mathrm{N},
F_{23,y}\approx 2{,}554{,}05\times0{,}16439\approx 419{,}90\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Somar vetorialmente as componentes para obter a força resultante sobre Q_{3}.
  • Componentes: F_{\text{res},x}=F_{13,x}+F_{23,x}\approx 4{,}117{,}10+2{,}519{,}80=6{,}636{,}90\\ \mathrm{N},
F_{\text{res},y}=F_{13,y}+F_{23,y}\approx 3{,}298{,}00+419{,}90=3{,}717{,}90\\ \mathrm{N}.
  • Vetor resultante: \vec{F}_{\text{res}}\approx(6{,}636{,}9,\\\ 3{,}717{,}9)\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Calcular magnitude e direção (para interpretação física).
  • Magnitude: \lVert\vec{F}_{\text{res}}\rVert=\sqrt{6{,}636{,}9^{2}+3{,}717{,}9^{2}}\approx 7{,}608{,}6\\ \mathrm{N}.
  • Direção (ângulo em relação ao eixo +x, sentido anti-horário): \theta=\arctan\!\left(\frac{F_{\text{res},y}}{F_{\text{res},x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{3{,}717{,}9}{6{,}636{,}9}\right)\approx 29{,}2^\circ.

Passo 9

Análise crítica do resultado (comentários, verificação e interpretação física).
  • Consistência direcional: todas as cargas são negativas, portanto as interações são repulsivas. Cada carga Q_{1} e Q_{2} empurra Q_{3} na direção de Q_{3} a partir de si; como ambos os vetores \vec{r}_{3}-\vec{r}_{1} e \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2} têm componentes positivas em x e em y, as forças parciais também têm componentes positivas — logo a resultante aponta para o primeiro quadrante (componentes x>0, y>0), o que bate com o cálculo numérico. Faz sentido físico.
  • Ordens de grandeza: as forças são da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{N}. Isso é razoável porque as cargas estão em milicoulombs (valores relativamente grandes eletricamente) e as distâncias são da ordem de poucos metros; portanto grandes forças eletrostáticas aparecem. Se as posições fossem dadas em centímetros, as forças seriam ainda muito maiores; por isso é importante confirmar a unidade de distância (assumi metros porque o enunciado não especificou).
  • Aproximações e fontes de erro: usei k\approx9{,}0\times10^{9}. Se usar o valor mais preciso 8{,}98755\times10^{9} os números mudam ligeiramente (algumas unidades na terceira casa significativa). Arredondei componentes para três casas significativas; em prova, mantenha sinalficância adequada.
  • Verificação rápida: componente x de \vec{F}_{13} é maior porque o vetor (5,4) tem razão x/y=5/4; porém \vec{F}_{23} tem direção quase horizontal (12,2), então contribui fortemente para x. Isso explica por que F_{\text{res},x} é bem maior que F_{\text{res},y}.
  • Superposição: a lei de Coulomb é linear, por isso somamos vetorialmente as forças — procedimento correto.
  • Interpretação prática: a força resultante tende a empurrar Q_{3} para a direita e para cima. Se Q_{3} estivesse livre, iria se acelerar nessa direção.

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{\text{res}}\approx(6{,}636{,}9,\;3{,}717{,}9)\\ \mathrm{N} (componentes x,y) \
Análise crítica: forças são repulsivas (todas as cargas negativas), resultante aponta para o 1.º quadrante com magnitude \approx 7{,}609\\ \mathrm{N} e direção \approx 29{,}2^\circ acima do eixo +x; resultado coerente com as posições e com a superposição de Coulomb (usei k\approx9{,}0\times10^{9}).

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