Do topo de um edifício atira-se uma pedra verticalmente para cima com * velocidade de módulo
. A posição de lançamento está a uma altura de 40 m do solo. Desprezado os efeitos da resistência do ar, determine o instante em que a pedra atinge o solo. Dado
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa bem específica.
Dados fornecidos:
- Velocidade inicial (módulo) no lançamento:
(direção vertical para cima). - Altura inicial em relação ao solo:
. - Aceleração da gravidade:
. - Despreza-se a resistência do ar.
O que o problema pede:
- Determinar o instante
(contado a partir do lançamento, com no momento do lançamento) em que a pedra atinge o solo.
Passo 2
Escolha de sinais e equação de movimento (sem sair do óbvio).
- Vou tomar o eixo vertical positivo para cima e a origem
no solo. - A posição vertical da pedra em função do tempo, para movimento com aceleração constante, é dada pela fórmula
onde:
-
é a altura acima do solo no instante , -
é a altura inicial ( ), -
é a velocidade inicial ( , positivo porque é para cima), -
é a aceleração (aqui , negativa porque aponta para baixo).
Substituindo os valores:
Passo 3
Condição para atingir o solo e obtenção da equação quadrática.
- A pedra atinge o solo quando
. Então:
- Simplificando os termos numéricos,
. Passa-se para a forma padrão:
Esta é uma equação quadrática na incógnita
.
Passo 4
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara (passo a passo e explicando).
- Para uma equação do tipo
, as raízes são
onde
é o discriminante
.
- No nosso caso
, e . Calcula-se o discriminante:
- A raiz quadrada do discriminante:
- Aplicando a fórmula:
- Calculando as duas soluções numéricas:
Passo 5
Interpretação física das raízes (por que uma é descartada).
- A equação quadrática dá duas soluções porque a parábola cruzaria o eixo do tempo em dois instantes: um anterior a
e outro posterior. - A solução negativa
corresponde a um instante anterior ao lançamento (ou seja, se seguíssemos a trajetória para trás no tempo a pedra estaria no solo naquele instante) — isso não é fisicamente relevante para o problema que pergunta a partir do lançamento. - Portanto, a solução física (o instante após o lançamento em que a pedra chega ao solo) é a raiz positiva
.
Passo 6
Verificação alternativa (método em duas etapas) — bom para fixar a ideia.
- Tempo até o ponto mais alto (onde a velocidade vertical zera):
- Altura máxima alcançada acima do solo:
- Tempo para cair dessa altura do repouso até o solo:
- Tempo total:
que confirma o resultado obtido pela solução da quadrática (pequenas diferenças por arredondamento).