Do topo de um edifício atira-se uma pedra verticalmente para cima com * velocidade de módulo 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A posição de lançamento está a uma altura de 40 m do solo. Desprezado os efeitos da resistência do ar, determine o instante em que a pedra atinge o solo. Dado \mathrm{g}=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa bem específica.
Dados fornecidos:
  • Velocidade inicial (módulo) no lançamento: v_0 = 20\\ \mathrm{m/s} (direção vertical para cima).
  • Altura inicial em relação ao solo: y_0 = 40\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Despreza-se a resistência do ar.
O que o problema pede:
  • Determinar o instante t (contado a partir do lançamento, com t=0 no momento do lançamento) em que a pedra atinge o solo.

Passo 2

Escolha de sinais e equação de movimento (sem sair do óbvio).
  • Vou tomar o eixo vertical positivo para cima e a origem y=0 no solo.
  • A posição vertical da pedra em função do tempo, para movimento com aceleração constante, é dada pela fórmula
y(t) = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde:
  • y(t) é a altura acima do solo no instante t,
  • y_0 é a altura inicial ( 40\\ \mathrm{m}),
  • v_0 é a velocidade inicial ( +20\\ \mathrm{m/s}, positivo porque é para cima),
  • a é a aceleração (aqui a = -g = -9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}, negativa porque aponta para baixo).
Substituindo os valores:
y(t) = 40 + 20\,t - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80\,t^2.

Passo 3

Condição para atingir o solo e obtenção da equação quadrática.
  • A pedra atinge o solo quando y(t)=0. Então:
0 = 40 + 20\,t - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80\,t^2.
  • Simplificando os termos numéricos, \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80 = 4{,}9. Passa-se para a forma padrão:
4{,}9\,t^2 - 20\,t - 40 = 0.
Esta é uma equação quadrática na incógnita t.

Passo 4

Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara (passo a passo e explicando).
  • Para uma equação do tipo a_q t^2 + b_q t + c_q = 0, as raízes são
t = \frac{-b_q \pm \sqrt{b_q^2 - 4 a_q c_q}}{2 a_q},
onde b_q^2 - 4 a_q c_q é o discriminante \Delta.
  • No nosso caso a_q = 4{,}9, b_q = -20 e c_q = -40. Calcula-se o discriminante:
\Delta = (-20)^2 - 4\cdot 4{,}9\cdot(-40) = 400 + 784 = 1184.
  • A raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1184} \approx 34{,}409\ldots
  • Aplicando a fórmula:
t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{1184}}{2\cdot 4{,}9} = \frac{20 \pm \sqrt{1184}}{9{,}8}.
  • Calculando as duas soluções numéricas:
t_1 = \frac{20 + \sqrt{1184}}{9{,}8} \approx \frac{54{,}409}{9{,}8} \approx 5{,}5519\\ \mathrm{s},
t_2 = \frac{20 - \sqrt{1184}}{9{,}8} \approx \frac{-14{,}409}{9{,}8} \approx -1{,}4707\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação física das raízes (por que uma é descartada).
  • A equação quadrática dá duas soluções porque a parábola cruzaria o eixo do tempo em dois instantes: um anterior a t=0 e outro posterior.
  • A solução negativa t_2 \approx -1{,}4707\\ \mathrm{s} corresponde a um instante anterior ao lançamento (ou seja, se seguíssemos a trajetória para trás no tempo a pedra estaria no solo naquele instante) — isso não é fisicamente relevante para o problema que pergunta a partir do lançamento.
  • Portanto, a solução física (o instante após o lançamento em que a pedra chega ao solo) é a raiz positiva t_1.

Passo 6

Verificação alternativa (método em duas etapas) — bom para fixar a ideia.
  • Tempo até o ponto mais alto (onde a velocidade vertical zera): \displaystyle t_{\text{pico}}=\frac{v_0}{g}=\frac{20}{9{,}80}\approx 2{,}0408\\ \mathrm{s}.
  • Altura máxima alcançada acima do solo: \displaystyle h_{\max}=y_0+\frac{v_0^2}{2g}=40+\frac{400}{19{,}6}=40+20{,}408\approx 60{,}408\\ \mathrm{m}.
  • Tempo para cair dessa altura do repouso até o solo: \displaystyle t_{\text{queda}}=\sqrt{\frac{2 h_{\max}}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 60{,}408}{9{,}80}}\approx 3{,}510\\ \mathrm{s}.
  • Tempo total: t_{\text{total}}=t_{\text{pico}}+t_{\text{queda}}\approx 2{,}0408+3{,}510\approx 5{,}551\\ \mathrm{s}, que confirma o resultado obtido pela solução da quadrática (pequenas diferenças por arredondamento).

Resposta

t \approx 5{,}55\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados