Determine o módulo do produto externo entre os vetores abaixo, arredondando a * resposta para dois algarismos:
\vec{a}=4 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+2 \hat{k}
\vec{b}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}
◯ 22
◯ 12
◯ 10
◯ 34
◯ 28

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei-os do enunciado):
\vec{a}=4\hat{\imath}-5\hat{\jmath}+2\hat{k},\qquad \vec{b}=\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-3\hat{k}.
O que pede: calcular o módulo do produto externo (produto vetorial) \vec{a}\times\vec{b} e arredondar a resposta para dois algarismos. As alternativas dadas são 22,\;12,\;10,\;34,\;28.

Passo 2

Revisão didática do que é e como calcular o produto vetorial:
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos; seu módulo pode ser interpretado como a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.
  • Para calcular coordenadas do produto vetorial usa-se a regra do determinante com as componentes:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
Explicando a fórmula de forma prática: as componentes são
(\vec{a}\times\vec{b})_x = a_y b_z - a_z b_y,
(\vec{a}\times\vec{b})_y = -(a_x b_z - a_z b_x),
(\vec{a}\times\vec{b})_z = a_x b_y - a_y b_x.
Aqui a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a} (mesma ideia para b). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores (peguei as componentes do enunciado):
\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)=(4,-5,2), \qquad \vec{b}=(b_x,b_y,b_z)=(1,2,-3).
Calcular cada componente do produto vetorial usando as fórmulas:
(\vec{a}\times\vec{b})_x = a_y b_z - a_z b_y = (-5)\cdot(-3) - 2\cdot 2 = 15 - 4 = 11.
(\vec{a}\times\vec{b})_y = -(a_x b_z - a_z b_x) = -\big(4\cdot(-3) - 2\cdot 1\big) = -\big(-12 - 2\big) = -(-14)=14.
(\vec{a}\times\vec{b})_z = a_x b_y - a_y b_x = 4\cdot 2 - (-5)\cdot 1 = 8 + 5 = 13.

Passo 4

Escrever o vetor produto vetorial obtido (resultado dos cálculos anteriores):
\vec{a}\times\vec{b} = 11\hat{\imath}+14\hat{\jmath}+13\hat{k}.

Passo 5

Agora o módulo do produto vetorial: para um vetor (x,y,z) o módulo é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Aplicando:
\left\|\vec{a}\times\vec{b}\right\| = \sqrt{11^2+14^2+13^2} = \sqrt{121+196+169} = \sqrt{486}.
Simplificando a raiz: 486=81\cdot6, então
\sqrt{486}=9\sqrt{6}\approx 9\cdot 2{,}4494897\ldots \approx 22{,}0454077\ldots
Agora o arredondamento pedido: arredondando para dois algarismos significativos (duas casas significativas) obtemos 22 (porque 22{,}045\ldots arredonda para 22).

Resposta

22

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