Uma força atua sobre uma partícula e gera um deslocamento na mesma. Os vetores força e deslocamento são dados abaixo. Calcule o módulo do trabalho realizado pela força.
\vec{F}=(2 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+5 \hat{k}) N
\overrightarrow{\Delta x}=(3 \hat{\imath}-5 \hat{k}) m
◯ 26 J
◯ 12 J
◯ 19 J
34,2 \mathrm{~J}
◯ 16 J

Passo 1

O enunciado fornece os dois vetores e pede o módulo do trabalho realizado pela força. Informações dadas:
  • Vetor força: \vec{F}=(2\hat{\imath}-4\hat{\jmath}+5\hat{k})\\ \mathrm{N}.
  • Deslocamento: \overrightarrow{\Delta x}=(3\hat{\imath}-5\hat{k})\\ \mathrm{m}.
    Observação importante: o componente na direção \hat{\jmath} do deslocamento é 0 (ou seja, \Delta x_y=0).
    O que se pede: calcular o módulo do trabalho realizado por \vec{F} durante \overrightarrow{\Delta x}.

Passo 2

Fórmula que usamos e por que ela vale: o trabalho escalar realizado por uma força constante durante um deslocamento é dado pelo produto escalar entre os vetores força e deslocamento,
W=\vec{F}\cdot\overrightarrow{\Delta x}.
Explicando o produto escalar (dot product) de forma simples:
  • Se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
  • Geometricamente, \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Isso representa a componente de \vec{A} ao longo de \vec{B} multiplicada pelo comprimento de \vec{B}.
    No problema, aplicamos a forma em componentes porque é direta e rápida para vetores dados por componentes.

Passo 3

Extraio as componentes dos vetores:
\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)=(2,\,-4,\,5), \qquad \overrightarrow{\Delta x}=(\Delta x_x,\Delta x_y,\Delta x_z)=(3,\,0,\,-5).
Agora calculo o produto escalar componente a componente:
W=\vec{F}\cdot\overrightarrow{\Delta x}=F_x\Delta x_x+F_y\Delta x_y+F_z\Delta x_z.
Substituindo os números:
W=2\cdot 3 + (-4)\cdot 0 + 5\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
2\cdot 3 = 6,\qquad (-4)\cdot 0 = 0,\qquad 5\cdot(-5) = -25.
Somando:
W=6+0-25 = -19\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Interpretação e pedido do enunciado: o valor encontrado W=-19\\ \mathrm{J} indica que o trabalho (com sinal) é negativo — isto é, a força tem, no conjunto, componente contrária ao deslocamento. Mas o enunciado pediu o módulo do trabalho, ou seja, o valor absoluto de W. Portanto:
|W| = |-19\\ \mathrm{J}| = 19\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde ao módulo calculado é 19\\ \mathrm{J}.

Resposta

19\\ \mathrm{J}

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