Um topógrafo não consegue acessar diretamente o ponto C. Ele mede a partir de dois pontos A(0,0) e B(60,0), formando ângulos de 45^{\circ} e 60^{\circ} com a linha base A B. Determine a distância de A até C.

Passo 1

O problema descreve um triângulo ABC com A=(0,0), B=(60,0) e um ponto C inacessível. Do ponto A mede-se \angle A=45^\circ em relação à reta AB e do ponto B mede-se \angle B=60^\circ em relação à reta BA. Queremos encontrar a distância AC. Vamos usar o conteúdo de trigonometria em triângulos, mais precisamente a Lei dos Senos.

Passo 2

No triângulo ABC temos o lado conhecido
AB = 60
e os ângulos
\angle A = 45^\circ, \quad \angle B = 60^\circ.
Como a soma dos ângulos internos vale 180^\circ, o ângulo em C é
\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ.

Passo 3

A Lei dos Senos diz que em qualquer triângulo
\frac{AB}{\sin(\angle C)} \;=\; \frac{BC}{\sin(\angle A)} \;=\; \frac{AC}{\sin(\angle B)}.
Como queremos AC, usamos a relação entre AB, \angle C e \angle B:
\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}.

Passo 4

Desse modo,
AC = AB \,\frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = 60 \,\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)}.

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(75^\circ)=\sin(45^\circ+30^\circ) =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Então
AC = 60 \;\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{120\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador:
AC = \frac{120\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{120\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = 30\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}).

Passo 6

Podemos também dar o valor aproximado usando calculadora:
AC \approx 30\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \approx 53,8.

Resposta

A distância de A até C é
AC = 30\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})
que, em valor numérico, é aproximadamente 53,8.

Exercícios relacionados