Considere
. Seja
o sólido limitado pelos planos
pelo plano
com densidade variável dada por
Calcule o centro de massa do sólido
.
Passo 1
O enunciado fixa
,
,
e descreve o tetraedro
limitado pelas três faces planas
e pela face oblíqua
A densidade é
Observe que em
temos
,
e
, logo
(os módulos caem porque
e
são sempre positivos e
).
O objetivo é achar o centro de massa
O objetivo é achar o centro de massa
onde
.
Passo 2
Identificamos o vértice comum às três faces coordenadas:
As outras três arestas, obtidas juntando cada uma das faces coordenadas com a oblíqua, têm os extremos
onde cada coordenada extra se acha impondo
. Fazendo isso:
- Para
: dá . - Para
: dá . - Para
: dá .
Logo
As três arestas saindo de
são então
Como essas três direções são ortogonais,
é um tetraedro “retângulo” com vértice em
e arestas paralelas aos eixos.
Passo 3
Para um tetraedro retângulo cujas arestas de
a
têm comprimentos
e densidade monomial
é conhecido (por expansão binomial + integrais padrão) que o centro de massa vem dado por
Aqui
,
,
, e
e
. Além disso
Passo 4
Substituindo: