Considere a=2 b=8, c=4. Seja T o sólido limitado pelos planos x=c-b, y=c-a, z=b-a \mathrm{e} pelo plano
(a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1,
com densidade variável dada por
\rho(x, y, z)=\left|x^{a} y^{a+1} z^{2 b}\right| .
Calcule o centro de massa do sólido T.

Passo 1

O enunciado fixa a=2, b=8, c=4 e descreve o tetraedro T limitado pelas três faces planas
x=c-b=-4,\quad y=c-a=2,\quad z=b-a=6
e pela face oblíqua
(a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=1\quad\Longrightarrow\quad -6x+4y+2z=1.
A densidade é
\rho(x,y,z)=\bigl|x^a\,y^{a+1}\,z^{2b}\bigr| =|x^2\,y^3\,z^{16}|.
Observe que em T temos y\ge2>0, z\ge6>0 e x\le -\tfrac16<0, logo \rho=x^2y^3z^{16} (os módulos caem porque x^2 e z^{16} são sempre positivos e y^3>0).
O objetivo é achar o centro de massa
(\bar x,\bar y,\bar z) =\frac{1}{M}\Bigl(\!\!\int_T x\,\rho\,dV,\, \int_T y\,\rho\,dV,\, \int_T z\,\rho\,dV\Bigr),
onde M=\int_T\rho\,dV.

Passo 2

Identificamos o vértice comum às três faces coordenadas:
P_0=(x_0,y_0,z_0)=(-4,2,6).
As outras três arestas, obtidas juntando cada uma das faces coordenadas com a oblíqua, têm os extremos
P_1=\bigl(x_1,2,6\bigr),\; P_2=\bigl(-4,y_2,6\bigr),\; P_3=\bigl(-4,2,z_3\bigr)
onde cada coordenada extra se acha impondo -6x+4y+2z=1. Fazendo isso:
  • Para P_1: y=2,z=6 -6x+8+12=1\implies x=19/6.
  • Para P_2: x=-4,z=6 24+4y+12=1\implies y=-35/4.
  • Para P_3: x=-4,y=2 24+8+2z=1\implies z=-31/2.
    Logo
P_1=\Bigl(\tfrac{19}{6},2,6\Bigr),\quad P_2=\Bigl(-4,-\tfrac{35}{4},6\Bigr),\quad P_3=\Bigl(-4,2,-\tfrac{31}{2}\Bigr).
As três arestas saindo de P_0 são então
\overrightarrow{P_0P_1} =\Bigl(\tfrac{19}{6}+4,\;0,\;0\Bigr) =\Bigl(\tfrac{43}{6},0,0\Bigr),
\overrightarrow{P_0P_2} =\Bigl(0,\;-\,\tfrac{35}{4}-2,\;0\Bigr) =\Bigl(0,-\tfrac{43}{4},0\Bigr),
\overrightarrow{P_0P_3} =\Bigl(0,0,\;-\,\tfrac{31}{2}-6\Bigr) =\Bigl(0,0,-\tfrac{43}{2}\Bigr).
Como essas três direções são ortogonais, T é um tetraedro “retângulo” com vértice em P_0 e arestas paralelas aos eixos.

Passo 3

Para um tetraedro retângulo cujas arestas de P_0 a P_1,P_2,P_3 têm comprimentos
p_x,\;p_y,\;p_z
e densidade monomial
\rho(x,y,z)=x^m\,y^n\,z^p
é conhecido (por expansão binomial + integrais padrão) que o centro de massa vem dado por
\bar x = x_0 + \frac{m+1}{m+n+p+4}\;p_x, \quad \bar y = y_0 + \frac{n+1}{m+n+p+4}\;p_y, \quad \bar z = z_0 + \frac{p+1}{m+n+p+4}\;p_z.
Aqui m=2, n=3, p=16, e
p_x=\tfrac{43}{6},\quad p_y=-\tfrac{43}{4},\quad p_z=-\tfrac{43}{2},
e P_0=(x_0,y_0,z_0)=(-4,2,6). Além disso
m+n+p+4 = 2+3+16+4 = 25.

Passo 4

Substituindo:
\bar x = -4 + \frac{2+1}{25}\,\frac{43}{6} = -4 + \frac{3\cdot 43}{25\cdot 6} = -4 + \frac{129}{150} = -4 + \frac{43}{50} = -\frac{157}{50},
\bar y = 2 + \frac{3+1}{25}\,\Bigl(-\tfrac{43}{4}\Bigr) = 2 - \frac{4\cdot 43}{25\cdot4} = 2 - \frac{43}{25} = \frac{50-43}{25} = \frac{7}{25},
\bar z = 6 + \frac{16+1}{25}\,\Bigl(-\tfrac{43}{2}\Bigr) = 6 - \frac{17\cdot 43}{25\cdot2} = 6 - \frac{731}{50} = \frac{300-731}{50} = -\frac{431}{50}.

Resposta

\boxed{\,(\bar x,\bar y,\bar z) = \Bigl(-\tfrac{157}{50},\,\tfrac{7}{25},\,-\tfrac{431}{50}\Bigr)\,.}

Exercícios relacionados