1. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Após metade do tanque estar cheio, são abertas mais 3 torneiras similares à primeira. Qual o tempo total necessário para encher o tanque completamente?
    a) 4 horas
    b) 4 horas e 15 minutos
    c) 3 horas e 15 minutos
    d) 3 horas e 45 minutos

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Uma torneira enche o tanque em \,6 horas (ou seja, sozinha, completa 1 tanque em \,6 horas).
  • Quando o tanque está pela metade (isto é, \tfrac{1}{2} do volume), abrem-se mais \,3 torneiras idênticas à primeira.
  • Pergunta: qual o tempo total necessário para encher o tanque completamente desde o início até o final?

Passo 2

Entendendo a ideia de “taxa” (vazão) — aula rápida e prática: se uma torneira enche 1 tanque em \,6 horas, dizemos que a sua taxa de enchimento é a fração do tanque preenchida por hora. Definimos a taxa da torneira única por \,r:
r=\frac{1}{6}\quad\text{(tanque por hora)}.
Isto significa: em 1 hora a torneira enche \tfrac{1}{6} do tanque; em 2 horas enche 2\cdot\tfrac{1}{6}, e assim por diante. Usar taxas unitárias assim é o caminho mais simples em problemas de enchimento/fluxo.

Passo 3

Tempo para encher a metade do tanque com uma torneira só: queremos t_1 tal que a torneira única, à taxa \,r=\tfrac{1}{6}, preencha \tfrac{1}{2} do tanque. A relação é
t_1=\frac{\tfrac{1}{2}}{r}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{6}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{6}}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3.
Logo t_1=3 horas. (Explicação: dividir a quantidade pelo ritmo dá o tempo.)

Passo 4

Agora, ao atingir a metade do tanque, abrem-se mais \,3 torneiras iguais. Isso significa que a partir desse instante há \,4 torneiras funcionando em paralelo. Para somar vazões: vazões se somam porque em cada hora cada torneira contribui com sua fração do tanque. Assim a vazão combinada R é
R=4\cdot r=4\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\quad\text{(tanque por hora)}.
Comentário didático: se duas torneiras idênticas têm cada uma taxa \tfrac{1}{6}, juntas enchem \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3} do tanque por hora; com quatro é quatro vezes essa contribuição.

Passo 5

Tempo necessário para encher a metade restante ( \tfrac{1}{2} do tanque) com as \,4 torneiras: seja t_2. Temos
t_2=\frac{\tfrac{1}{2}}{R}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2}{3}}.
Calculemos:
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}.
Então t_2=\tfrac{3}{4} hora. Convertendo \tfrac{3}{4} hora em minutos:
\tfrac{3}{4}\times 60 = 45\\ \text{minutos}.

Passo 6

Juntando os tempos: tempo total desde o início até encher completamente é
T=t_1+t_2=3+\tfrac{3}{4}= \tfrac{15}{4}=3{,}75\\ \text{horas}.
Em horas e minutos isso é 3 horas e 45 minutos. Portanto a alternativa correta é a que corresponde a esse valor.

Resposta

3 horas e 45 minutos (alternativa d)

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