1. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas e 6 horas, respectivamente. Uma terceira torneira esvazia o tanque em 3 horas. Se todas as três torneiras forem abertas simultaneamente, quanto tempo levará para encher o tanque?
    a) 3 horas
    b) 9 horas
    c) 12 horas
    d) 24 horas

Passo 1

O enunciado dá três torneiras e pede quanto tempo leva para encher o tanque se as três forem abertas ao mesmo tempo. Informações fornecidas:
  • Primeira torneira enche o tanque em 4 horas.
  • Segunda torneira enche o tanque em 6 horas.
  • Terceira torneira esvazia (ou seja, retira água) o tanque em 3 horas.
    O que se pede: o tempo total para encher o tanque quando as três estão abertas simultaneamente.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática e simples): associamos a cada torneira uma “taxa de trabalho” — a fração do tanque que ela preenche (ou esvazia) por hora. É comum tomar a capacidade do tanque como 1 (uma unidade, o tanque cheio). Assim:
  • A primeira torneira tem taxa r_1 igual a “uma parte do tanque por 4 horas”, isto é
r_1=\frac{1}{4}\quad\text{(tanque por hora)}.
  • A segunda torneira tem taxa r_2:
r_2=\frac{1}{6}\quad\text{(tanque por hora)}.
  • A terceira torneira esvazia, então sua taxa é negativa — ela tira água a uma razão de “uma parte do tanque por 3 horas”:
r_3=-\frac{1}{3}\quad\text{(tanque por hora)}.
Explicação extra: somar taxas significa somar frações por hora. Se uma torneira enche metade do tanque em uma hora, sua taxa seria \tfrac{1}{2} tanque/hora. Aqui usamos a mesma ideia.

Passo 3

Quando todas as três estão abertas simultaneamente, as taxas se somam. A taxa líquida é
r_{\text{total}}=r_1+r_2+r_3=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}.
Vamos calcular passo a passo com denominador comum 12:
\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\qquad \frac{1}{6}=\frac{2}{12},\qquad \frac{1}{3}=\frac{4}{12}.
Substituindo:
r_{\text{total}}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 4

Interpretação: r_{\text{total}}=\dfrac{1}{12} significa que, com as três torneiras abertas, enche-se \dfrac{1}{12} do tanque a cada hora. Para saber quanto tempo T leva para encher o tanque inteiro (capacidade 1), usamos a relação
\text{tempo}=\frac{\text{capacidade}}{\text{taxa}}=\frac{1}{r_{\text{total}}}.
Portanto
T=\frac{1}{\tfrac{1}{12}}=12\\ \text{horas}.
Pequeno cheque de sanidade: a taxa líquida é positiva ( \tfrac{1}{12}>0), então o tanque de fato vai encher (se a taxa fosse negativa, o tanque nunca encheria).

Passo 5

Conclusão pronta para a prova: o tempo necessário é 12 horas, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 12 horas

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