1. A torneira A enche um tanque de água em 25 minutos, a torneira B enche o mesmo tanque em 40 minutos e a torneira C esvazia o tanque em 30 minutos. Se todas as três torneiras forem abertas simultaneamente, em quantos minutos o tanque estará completamente cheio ou vazio?
    a) 3 \frac{2}{13}
    b) 15 \frac{5}{13}
    c) 8 \frac{2}{13}
    d) 31 \frac{11}{19}

Passo 1

O enunciado fornece os tempos que cada torneira leva para encher ou esvaziar o tanque e pede quanto tempo o tanque ficará completamente cheio ou vazio se as três forem abertas juntas. Dados fornecidos:
  • A torneira A enche o tanque em \,25 minutos.
  • A torneira B enche o tanque em \,40 minutos.
  • A torneira C esvazia o tanque em \,30 minutos.
Pergunta: Se as três torneiras forem abertas simultaneamente, em quantos minutos o tanque ficará completamente cheio (ou vazio)?

Passo 2

Ideia e conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Em problemas de “trabalho” ou “enchimento”, cada torneira tem uma taxa de trabalho igual à fração do tanque que ela enche (ou esvazia) por unidade de tempo.
  • Se uma torneira enche o tanque em \,T minutos, sua taxa é \dfrac{1}{T} tanque por minuto.
  • Se uma torneira esvazia o tanque em \,T minutos, sua taxa é negativa: -\dfrac{1}{T} tanque por minuto.
  • Quando várias torneiras atuam ao mesmo tempo, as taxas se somam (respeitando sinais). A taxa combinada é a soma algébrica das taxas individuais.
  • O tempo para encher completamente o tanque é o recíproco da taxa combinada (desde que a taxa combinada seja positiva). Se a taxa combinada fosse negativa, o tanque estaria sendo esvaziado e não poderia encher.
Vou aplicar exatamente isso: calcular as taxas individuais, somá-las, obter a taxa combinada \,r e então calcular \,t=\dfrac{1}{r}.

Passo 3

Calcular as taxas individuais (cada número em minutos; todas as frações em tanque por minuto):
  • Taxa da torneira A:
r_A = \dfrac{1}{25}.
  • Taxa da torneira B:
r_B = \dfrac{1}{40}.
  • Taxa da torneira C (esvazia, logo negativa):
r_C = -\dfrac{1}{30}.
Somando as taxas para obter a taxa combinada \,r:
r = r_A + r_B + r_C = \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{40} - \dfrac{1}{30}.

Passo 4

Somar as frações com denominador comum. Escolhendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores 25,40,30, que é 600:
\dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{600},\qquad \dfrac{1}{40} = \dfrac{15}{600},\qquad \dfrac{1}{30} = \dfrac{20}{600}.
Portanto
r = \dfrac{24}{600} + \dfrac{15}{600} - \dfrac{20}{600} = \dfrac{24+15-20}{600} = \dfrac{19}{600}.
A interpretação: as três torneiras juntas enchem \dfrac{19}{600} do tanque por minuto.

Passo 5

Encontrar o tempo para encher completamente: é o recíproco da taxa combinada (porque tempo \times taxa = 1 tanque):
t = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{\tfrac{19}{600}} = \dfrac{600}{19}\\ \text{minutos}.
Converter \dfrac{600}{19} para número misto:
  • 19 \times 31 = 589, resto 600-589 = 11.
    Logo
\dfrac{600}{19} = 31 + \dfrac{11}{19} = 31\\ \dfrac{11}{19}\\ \text{minutos}.
Verificação rápida de sinal: \dfrac{19}{600}>0, então a combinação enche o tanque (não esvazia), e o resultado faz sentido.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde ao tempo calculado é a alternativa (d): \,31 \dfrac{11}{19} minutos.

Resposta

d) 31 \dfrac{11}{19}

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