- A torneira A enche um tanque de água em 25 minutos, a torneira B enche o mesmo tanque em 40 minutos e a torneira C esvazia o tanque em 30 minutos. Se todas as três torneiras forem abertas simultaneamente, em quantos minutos o tanque estará completamente cheio ou vazio?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece os tempos que cada torneira leva para encher ou esvaziar o tanque e pede quanto tempo o tanque ficará completamente cheio ou vazio se as três forem abertas juntas. Dados fornecidos:
- A torneira A enche o tanque em
minutos. - A torneira B enche o tanque em
minutos. - A torneira C esvazia o tanque em
minutos.
Pergunta: Se as três torneiras forem abertas simultaneamente, em quantos minutos o tanque ficará completamente cheio (ou vazio)?
Passo 2
Ideia e conceito que vamos usar (explicação didática):
- Em problemas de “trabalho” ou “enchimento”, cada torneira tem uma taxa de trabalho igual à fração do tanque que ela enche (ou esvazia) por unidade de tempo.
- Se uma torneira enche o tanque em
minutos, sua taxa é tanque por minuto. - Se uma torneira esvazia o tanque em
minutos, sua taxa é negativa: tanque por minuto. - Quando várias torneiras atuam ao mesmo tempo, as taxas se somam (respeitando sinais). A taxa combinada é a soma algébrica das taxas individuais.
- O tempo para encher completamente o tanque é o recíproco da taxa combinada (desde que a taxa combinada seja positiva). Se a taxa combinada fosse negativa, o tanque estaria sendo esvaziado e não poderia encher.
Vou aplicar exatamente isso: calcular as taxas individuais, somá-las, obter a taxa combinada
e então calcular
.
Passo 3
Calcular as taxas individuais (cada número em minutos; todas as frações em tanque por minuto):
- Taxa da torneira A:
- Taxa da torneira B:
- Taxa da torneira C (esvazia, logo negativa):
Somando as taxas para obter a taxa combinada
:
Passo 4
Somar as frações com denominador comum. Escolhendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores
, que é
:
Portanto
A interpretação: as três torneiras juntas enchem
do tanque por minuto.
Passo 5
Encontrar o tempo para encher completamente: é o recíproco da taxa combinada (porque tempo
taxa = 1 tanque):
Converter
para número misto:
-
, resto .
Logo
Verificação rápida de sinal:
, então a combinação enche o tanque (não esvazia), e o resultado faz sentido.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde ao tempo calculado é a alternativa (d):
minutos.
Resposta
d)