Uma torneira de vazão constante despeja 20 litros de água por minuto em um reservatório, inicialmente vazio. A capacidade do reservatório é de 600 litros. Seja V o volume de água no tanque, t minutos após a torneira ser aberta, até que o reservatório fique cheio.
a) Dê a expressão de V(t) e classifique essa função.
b) Avalie se V é proporcional a t.
c) Calcule o volume de água no reservatório, 8 minutos após a torneira ser aberta.
d) Determine o instante t em que o tanque está cheio.
e) Faça o gráfico dessa função.
a) Dê a expressão de V(t) e classifique essa função.
b) Avalie se V é proporcional a t.
c) Calcule o volume de água no reservatório, 8 minutos após a torneira ser aberta.
d) Determine o instante t em que o tanque está cheio.
e) Faça o gráfico dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma torneira que despeja água a um ritmo constante de 20 litros por minuto em um reservatório que pode guardar até 600 litros. O reservatório começa vazio. A gente quer descobrir como o volume de água no tanque, que a gente vai chamar de $ V(t) $, varia com o tempo $ t $ em minutos, até que o tanque fique cheio.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções lineares, proporcionalidade e entender como representar esses relacionamentos matematicamente. Também vamos usar gráficos para visualizar a função. Vamos por partes!
Passo 2
a) Dê a expressão de $ V(t) $ e classifique essa função.
Primeiro, vamos encontrar uma expressão para $ V(t) $, que é o volume de água no reservatório após $ t $ minutos. Sabemos que a torneira despeja 20 litros por minuto, então a cada minuto, o volume de água aumenta em 20 litros.
A expressão matemática para isso é uma função linear, pois o volume aumenta de forma constante com o tempo. A fórmula geral de uma função linear é:
Onde:
- $ m $ é a inclinação da reta, que representa a taxa de variação (neste caso, 20 litros por minuto).
- $ b $ é o valor inicial (neste caso, como o reservatório começa vazio, $ b = 0 $).
Então, substituindo os valores:
Classificação da função:
Essa é uma função linear, porque o volume de água aumenta de forma constante com o tempo, e o gráfico dessa função será uma linha reta.
Essa é uma função linear, porque o volume de água aumenta de forma constante com o tempo, e o gráfico dessa função será uma linha reta.
Passo 3
b) Avalie se $ V $ é proporcional a $ t $.
Para verificar se $ V $ é proporcional a $ t $, precisamos ver se a relação entre eles pode ser representada por uma função do tipo:
Onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.
Comparando com a expressão que encontramos:
Vemos que sim, $ V $ é proporcional a $ t $, com a constante de proporcionalidade $ k = 20 $ litros por minuto. Isso significa que o volume de água no reservatório aumenta uniformemente à medida que o tempo passa.
Passo 4
c) Calcule o volume de água no reservatório, 8 minutos após a torneira ser aberta.
Agora, vamos usar a expressão que encontramos para calcular o volume após 8 minutos.
Usando a função:
Substituindo $ t = 8 $:
Então, 8 minutos após abrir a torneira, haverá 160 litros de água no reservatório.
Passo 5
d) Determine o instante $ t $ em que o tanque está cheio.
Sabemos que a capacidade do reservatório é de 600 litros. Queremos encontrar o tempo $ t $ necessário para que $ V(t) = 600 $.
Usando a função:
Para encontrar $ t $, dividimos ambos os lados por 20:
Portanto, levará 30 minutos para encher completamente o reservatório.
Passo 6
e) Faça o gráfico dessa função.
Vamos desenhar o gráfico da função $ V(t) = 20t $.
-
Eixos do gráfico:
- O eixo horizontal (x) representa o tempo $ t $ em minutos.
- O eixo vertical (y) representa o volume $ V(t) $ em litros.
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Pontos importantes:
- Quando $ t = 0 $, $ V = 0 $ (o reservatório está vazio).
- Quando $ t = 8 $, $ V = 160 $.
- Quando $ t = 30 $, $ V = 600 $ (tanque cheio).
-
Desenho:
- Plota os pontos (0,0), (8,160) e (30,600).
- Conecta esses pontos com uma linha reta ascendente, mostrando que o volume aumenta de forma constante com o tempo.
Observação: O gráfico será uma linha reta começando na origem (0,0) e passando pelos pontos mencionados, continuando até atingir o ponto (30,600), que representa o tanque cheio.
Resposta
a) $ V(t) = 20t $, função linear.
b) Sim, $ V $ é proporcional a $ t $.
c) 160 litros após 8 minutos.
d) O tanque fica cheio em 30 minutos.
e) Gráfico de uma linha reta que passa pelos pontos (0,0), (8,160) e (30,600).