O toroide da figura é composto por 250 voltas de fio enrolados em um núcleo de aço-silício. Para uma corrente \mathrm{i}=2,5 \mathrm{~A}, calcule:
a) A indução magnética no raio médio do toroide;
b) A indutância da bobina toroidal pela definição ( L=\lambda / i=N \Phi / i ).
Dados: \mathrm{r}_{\mathrm{m}}=22,5 \mathrm{~cm}; \mathrm{a}=2,5 \mathrm{~cm} (raio da seção reta)

Passo 1

O problema trata de um toroide com núcleo de aço-silício, com N=250 voltas, corrente i=2{,}5\\ \mathrm{A}, raio médio r_m=22{,}5\\ \mathrm{cm} e raio da seção reta a=2{,}5\\ \mathrm{cm}. O conteúdo principal é magnetostática em toroides:
– Para (a), usamos a Lei de Ampère para achar a indução magnética B(r_m).
– Para (b), usamos a definição de indutância L = N\Phi/i, onde \Phi é o fluxo em cada volta.

Passo 2

Aplicando a Lei de Ampère num caminho circular de raio r dentro do toroide, como o campo é essencialmente tangencial e confinado ao ferro, temos
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = B(r)\,(2\pi r) = \mu_0\,\mu_r\,N\,i.
Logo, em r=r_m,
B(r_m) = \frac{\mu_0\,\mu_r\,N\,i}{2\pi\,r_m}.

Passo 3

O fluxo magnético em cada volta vale
\Phi = \int_{\text{seção}} B\,dA \approx B(r_m)\times A,çã
pois B varia pouco sobre a seção.
A área da seção é
A = \pi\,a^2.

Passo 4

Pela definição de indutância,
L = \frac{N\,\Phi}{i} = \frac{N\,B(r_m)\,A}{i}.
Substituindo B(r_m) e A achamos
L = \frac{N}{i}\,\frac{\mu_0\,\mu_r\,N\,i}{2\pi\,r_m}\,\bigl(\pi\,a^2\bigr) = \frac{\mu_0\,\mu_r\,N^2\,\pi\,a^2}{2\pi\,r_m} = \frac{\mu_0\,\mu_r\,N^2\,a^2}{2\,r_m}.

Passo 5

Passando para o SI e colocando r_m=0{,}225\\ \mathrm{m}, a=0{,}025\\ \mathrm{m}, N=250 e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}:
B(r_m) = \frac{4\pi\times10^{-7}\,\mu_r\,(250)\,(2{,}5)}{2\pi\,(0{,}225)} \approx 5{,}55\times10^{-4}\,\mu_r\\ \mathrm{T},
L = \frac{4\pi\times10^{-7}\,\mu_r\,(250)^2\,(0{,}025)^2}{2\,(0{,}225)} \approx 3{,}47\times10^{-5}\,\mu_r\\ \mathrm{H}.
Para obter valores numéricos é preciso conhecer \mu_r do aço-silício (não fornecido).

Resposta

a) \displaystyle B(r_m)=\frac{\mu_0\,\mu_r\,N\,i}{2\pi\,r_m}\approx5{,}55\times10^{-4}\,\mu_r\\ \mathrm{T}.
b) \displaystyle L=\frac{\mu_0\,\mu_r\,N^2\,a^2}{2\,r_m}\approx3{,}47\times10^{-5}\,\mu_r\\ \mathrm{H}.

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