11- Uma máquina síncrona tem uma reatância síncrona de 1,0 \Omega por fase a uma resistência de armadura de 0,1 \Omega por fase. Se E_{A}=460 \angle-10^{\circ} \mathrm{V} e V_{\varphi}=480 \angle 0^{\circ} \mathrm{V}, essa máquina é um gerador ou um motor? Quanta potência ativa P que essa máquina esta consumindo ou fornecendo para o sistema elétrico? Quanta potência reativa Q ela esta consumindo ou fornecendo ao sistema elétrico?

Passo 1

O enunciado fornece uma máquina síncrona com resistência de armadura por fase R_{a}=0,1\\ \Omega e reatância síncrona por fase X_{s}=1,0\\ \Omega. A tensão interna é \displaystyle E_{A}=460\angle -10^\circ\\ \mathrm{V} e a tensão de terminal é \displaystyle V_{\varphi}=480\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}. Queremos determinar se a máquina opera como motor ou gerador e calcular as potências ativa P e reativa Q trocadas com o sistema.
Para isso, vamos (1) calcular a corrente de armadura I_{A} em regime estacionário por fase e (2) obter a potência complexa trifásica S=3\,V_{\varphi}I_{A}^{*}.

Passo 2

Calculamos primeiro o numerador da corrente fasorial:
E_{A}-V_{\varphi} =460\angle -10^\circ -480\angle 0^\circ.
Em forma retangular,
460\angle -10^\circ =460\bigl(\cos(-10^\circ)+j\sin(-10^\circ)\bigr) =453,0 - j79,9,
portanto
E_{A}-V_{\varphi} =453,0 - j79,9 -480 = -27,0 - j79,9\\ (\mathrm{V}).

Passo 3

A corrente de armadura é
I_{A} =\frac{E_{A}-V_{\varphi}}{R_{a}+jX_{s}} =\frac{-27,0 - j79,9}{0,1 + j1,0}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 0,1+j1,0 e dividindo por 0,1^{2}+1,0^{2}=1,01, obtemos
I_{A} =\frac{(-27,0 - j79,9)(0,1 - j1,0)}{1,01} =-81,8 + j18,8\\ (\mathrm{A}) \approx84,0\angle 167^\circ\\ (\mathrm{A}).

Passo 4

A potência complexa trifásica é
S=3\,V_{\varphi}\,I_{A}^{*}.
Como V_{\varphi}=480\angle0^\circ e I_{A}^{*}=84,0\angle -167^\circ,
S =3\cdot480\cdot84,0\angle(-167^\circ) =120960\angle -167^\circ\\ \mathrm{VA}.
Dessa forma,
P=\Re(S)=120960\cos(-167^\circ)\approx -117852\\ \mathrm{W},
Q=\Im(S)=120960\sin(-167^\circ)\approx -27221\\ \mathrm{VAr}.

Passo 5

Como P<0, a máquina está entregando potência ativa ao sistema (logo é um gerador). Como Q<0, também está entregando potência reativa ao sistema (está superexcitada).

Resposta

A máquina opera como gerador, fornecendo aproximadamente
118\\ \mathrm{kW} de potência ativa e
27,2\\ \mathrm{kVAr} de potência reativa ao sistema elétrico.

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