Um torque de 12 kNm é aplicado à extremidade de um tanque que contém ar comprimido sob uma pressão de 8 MPa . Sabendo que o tanque tem um diâmetro externo de 192 mm , espessura de parede de 12 mm , eixo +x apontando para cima e eixo +y apontando para a esquerda, determine:
2a
a) as tensões atuantes (em MPa) em um determinado elemento situado no plano x y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que está sofrendo uma força de torque de 12 kNm e tem ar comprimido com pressão de 8 MPa dentro dele. O diâmetro externo do tanque é de 192 mm e a espessura da parede é de 12 mm. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as tensões que atuam em um ponto específico no plano $ xy $ desse tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especialmente sobre como calcular tensões devido a pressão interna e torque aplicado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são tensões. Tensões são como as “forças internas” que o material sente quando está sendo puxado, comprimido ou torcido. No caso do tanque, temos duas fontes de tensões: a pressão do ar comprimido e o torque aplicado.

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão devido à pressão interna. Para um tanque cilíndrico, a tensão circumferencial (também chamada de tensão de parede ou tensão de flexão) pode ser calculada usando a fórmula:
sigmatheta = P cdot rt
Onde:
  • $ \sigma_{\theta} $ é a tensão circumferencial,
  • $ P $ é a pressão interna,
  • $ r $ é o raio interno do tanque,
  • $ t $ é a espessura da parede.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o raio interno. Sabemos que o diâmetro externo é 192 mm e a espessura da parede é 12 mm. Então:
r = Diâmetroexterno2 - Espessura = 192,mm2 - 12,mm = 96,mm - 12,mm = 84,mm â
Convertendo para metros para facilitar as unidades:
r = 84,mm = 0,084,m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão circumferencial:
sigmatheta = 8,MPa cdot 0,084,m0,012,m = 0,672,MPa cdot m0,012,m = 56,MPa

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a tensão devido ao torque aplicado. A fórmula para a tensão de torção em um eixo circular é:
tau = T cdot rJ
Onde:
  • $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
  • $ T $ é o torque aplicado,
  • $ r $ é o raio externo,
  • $ J $ é o momento de inércia polar.

Passo 7

Calculamos o momento de inércia polar $ J $ para uma seção circular oca:
J
Primeiro, encontramos o raio externo:
J = pi2 ( rexterno^4 - rinterno^4 )
E o raio interno já calculamos como 84 mm ou 0,084 m.

Passo 8

Substituindo na fórmula do $ J $:
J

Passo 9

Agora, substituímos na fórmula da tensão de torção:
tau = 12,kNm cdot 0,096,m0,000553,m^4 = 1,152,kN cdot m0,000553,m^4 approx 2082,kPa = 2,082,MPa

Passo 10

Por fim, as tensões atuantes no elemento no plano $ xy $ são combinadas das tensões devido à pressão interna e ao torque. Portanto, temos:
  • Tensão circumferencial: 56 MPa
  • Tensão de cisalhamento: 2,082 MPa

Resposta

As tensões atuantes no elemento no plano $ xy $ são aproximadamente 56 MPa na direção circumferencial e 2,082 MPa de cisalhamento.

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