Um torque de 12 kNm é aplicado à extremidade de um tanque que contém ar comprimido sob uma pressão de 8 MPa . Sabendo que o tanque tem um diâmetro externo de 192 mm , espessura de parede de 12 mm , eixo
apontando para cima e eixo
apontando para a esquerda, determine:
2a
a) as tensões atuantes (em MPa) em um determinado elemento situado no plano
;
2a
a) as tensões atuantes (em MPa) em um determinado elemento situado no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que está sofrendo uma força de torque de 12 kNm e tem ar comprimido com pressão de 8 MPa dentro dele. O diâmetro externo do tanque é de 192 mm e a espessura da parede é de 12 mm. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as tensões que atuam em um ponto específico no plano $ xy $ desse tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especialmente sobre como calcular tensões devido a pressão interna e torque aplicado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são tensões. Tensões são como as “forças internas” que o material sente quando está sendo puxado, comprimido ou torcido. No caso do tanque, temos duas fontes de tensões: a pressão do ar comprimido e o torque aplicado.
Passo 3
Vamos começar calculando a tensão devido à pressão interna. Para um tanque cilíndrico, a tensão circumferencial (também chamada de tensão de parede ou tensão de flexão) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ \sigma_{\theta} $ é a tensão circumferencial,
- $ P $ é a pressão interna,
- $ r $ é o raio interno do tanque,
- $ t $ é a espessura da parede.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o raio interno. Sabemos que o diâmetro externo é 192 mm e a espessura da parede é 12 mm. Então:
Convertendo para metros para facilitar as unidades:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão circumferencial:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a tensão devido ao torque aplicado. A fórmula para a tensão de torção em um eixo circular é:
Onde:
- $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
- $ T $ é o torque aplicado,
- $ r $ é o raio externo,
- $ J $ é o momento de inércia polar.
Passo 7
Calculamos o momento de inércia polar $ J $ para uma seção circular oca:
Primeiro, encontramos o raio externo:
E o raio interno já calculamos como 84 mm ou 0,084 m.
Passo 8
Substituindo na fórmula do $ J $:
Passo 9
Agora, substituímos na fórmula da tensão de torção:
Passo 10
Por fim, as tensões atuantes no elemento no plano $ xy $ são combinadas das tensões devido à pressão interna e ao torque. Portanto, temos:
- Tensão circumferencial: 56 MPa
- Tensão de cisalhamento: 2,082 MPa
Resposta
As tensões atuantes no elemento no plano $ xy $ são aproximadamente 56 MPa na direção circumferencial e 2,082 MPa de cisalhamento.