TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE
Esse é o princípio de funcionamento de motores elétricos, onde temos um campo magnético exercendo forças sobre fios percorridos por correntes elétricas:
Nos lados maiores, as forças magnéticas se anulam, não há deslocamento linear, no entanto, haverá um torque tal qual a um dipolo elétrico imerso em um campo elétrico (ver aula 1);
Esse torque tende a fazer a espira girar de forma que o vetor normal a superfície da espira se alinhe ao campo magnético, então, o braço da alavanca é dado por
.
O módulo do torque será:
Note que
, ou seja, a área limitada pela espira:
Se tivermos um conjunto com N espiras, o torque total será dado por:
Nos motores, quando a espira está prestes a se alinhar com o campo magnético, a corrente é invertida de modo que um toque continua a fazer com que a espira gire. Essa inversão automática da corrente é feita por um comutador.
Esse é o princípio de funcionamento de motores elétricos, onde temos um campo magnético exercendo forças sobre fios percorridos por correntes elétricas:
Esse torque tende a fazer a espira girar de forma que o vetor normal a superfície da espira se alinhe ao campo magnético, então, o braço da alavanca é dado por
O módulo do torque será:
Passo 1
O enunciado mostra uma espira retangular percorrida por uma corrente elétrica
imersa em um campo magnético uniforme
. Pergunta-se (implicitamente) qual é o torque que age sobre a espira e como fica esse torque se tivermos
espiras; também aparece o esquema do comutador — então precisamos explicar por que o comutador inverte a corrente e como isso mantém o movimento de rotação.\n
Informações dadas e elementos relevantes: \n
Informações dadas e elementos relevantes: \n
- A espira é retangular com lados de comprimento
(lado maior) e (distância entre os lados que recebem forças opostas). \n - A área limitada pela espira é
e foi afirmado que . \n - A corrente na espira é
. \n - O campo magnético é
, presumivelmente aproximadamente uniforme entre os pólos do ímã. \n - Define-se um ângulo
entre o vetor normal da superfície da espira e (ou, equivalentemente, entre o plano da espira e , conforme a convenção usada no enunciado). \n - Também é mencionado um conjunto de
espiras (bobina), e pede-se o torque total. \n - Há um comutador que inverte a corrente quando a espira se aproxima do alinhamento com
; devemos explicar por que isso é necessário. \n
Passo 2
Entender a força magnética sobre um fio retilíneo percorrido por corrente: a base física\n
Fórmula fundamental: a força magnética sobre um segmento retilíneo de fio que conduz corrente é dada por\n
Fórmula fundamental: a força magnética sobre um segmento retilíneo de fio que conduz corrente é dada por\n
onde: \n
-
é a corrente que atravessa o fio (em ampères), \n -
é um vetor cujo módulo é o comprimento do segmento de fio ( no caso) e cuja direção é a mesma da corrente (unidade de comprimento: metro), \n -
é o campo magnético (em tesla), \n - o símbolo
indica produto vetorial; o módulo da força fica , onde é o ângulo entre e . \n\n
Explicação intuitiva: cargas em movimento (a corrente) sentem uma força perpendicular tanto à direção do movimento (fio) quanto ao campo magnético. O sinal e direção seguem a regra da mão direita para o produto vetorial.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos lados da espira e identificando o par de forças que gera torque\n
Observe a espira retangular com dois lados “verticais” (vou chamar os lados que interagem significativamente com de lado 1 e lado 3, separados por distância
) e dois lados “horizontais” que ficam paralelos a
(nestes últimos a força é nula ou se anula). \n
Observe a espira retangular com dois lados “verticais” (vou chamar os lados que interagem significativamente com
- Para os lados paralelos a
, o ângulo entre e é ou , então e a força magnética sobre esses lados é (praticamente) zero. Por isso não há deslocamento linear da espira. \n - Para os dois lados opostos (cada um de comprimento
no enunciado): a corrente segue sentidos opostos nesses dois lados, então as forças magnéticas e têm sentidos opostos e pontos de ação separados por uma distância . Essas duas forças formam um par de forças (um momento de forças), ou seja, geram um torque que tende a girar a espira. \n
Módulo da força em cada lado (supondo que o fio nesse lado forma o ângulo tal que a força tenha o fatorindicado no enunciado):\n
Essa expressão provém diretamente de
, onde aqui o ângulo relevante é dado pelo enunciado como
. \n
Agora o torque gerado por esse par de forças (módulo): o torque de um par de forças opostas separadas por distância
tem módulo\n
Agora o torque gerado por esse par de forças (módulo): o torque de um par de forças opostas
Aqui estamos usando a definição física do momento de um par de forças: torque = força × braço da alavanca.
Passo 4
Simplificação com a área da espira e interpretação física final\n
Como o enunciado já indicou, , a área da espira. Substituindo na expressão do passo anterior:\n
Como o enunciado já indicou,
Isso é a expressão para o módulo do torque que tende a girar a espira. Interpretação física: o torque é máximo quando
, ou seja, quando o plano da espira está parallel ao campo e o vetor normal está perpendicular; o torque é zero quando
, isto é, quando o vetor normal da espira já está alinhado com
(espira em posição estável ou instável, dependendo do sentido da corrente). \n
Portanto, para voltas (espiras em série bem próximas), cada volta gera o mesmo torque, logo o torque total vale\n
Portanto, para
Passo 5
Forma vetorial e o momento de dipolo magnético (conceito enxuto e útil na prova)\n
É comum e muito prático definir o momento de dipolo magnético (ou momento magnético) da espira:\n
É comum e muito prático definir o momento de dipolo magnético (ou momento magnético) da espira:\n
onde
é o versor normal à superfície da espira dado pela regra da mão direita (rote a mão no sentido da corrente e o polegar indica
). O módulo de
é
. \n
O torque sobre um dipolo magnético em um campo é dado por\n
O torque sobre um dipolo magnético em um campo é dado por\n
Em módulo isso gera a mesma expressão obtida antes:\n
e para
espiras
e então
. \n
Comentário didático: usar o momento magnético é uma forma elegante e curta de obter o torque sem ficar “contando forças” na hora — ótimo para prova e para problemas com geometrias mais complicadas.
Comentário didático: usar o momento magnético é uma forma elegante e curta de obter o torque sem ficar “contando forças” na hora — ótimo para prova e para problemas com geometrias mais complicadas.
Passo 6
Por que a espira gira e qual é o papel do comutador (explicação prática e motivadora)\n
- O torque tende a alinhar
com porque isso minimiza a energia magnética . \n - Quando a espira se aproxima de
paralelo a (isto é, ), e o torque tende a zero: sem intervenção a espira ficaria parada alinhada (ou na posição oposta, dependendo do sentido). \n - Para um motor elétrico contínuo queremos movimento contínuo: quando a espira alcança a posição em que o torque mudaria de sinal (passando pelo alinhamento), devemos inverter a corrente na espira para que o torque continue no mesmo sentido de rotação ao invés de começar a retardar a rotação. \n
- O comutador (comutador mecânico + escovas) faz exatamente isso: ele inverte o sentido da corrente na espira a cada meia volta, de modo que o momento magnético
também inverte de sentido no instante adequado. Isso faz com que o produto vetorial continue apontando para o mesmo sentido de rotação, mantendo a espira girando sempre na mesma direção. \n
Resumo funcional: sem o comutador a espira oscilaria e poderia parar numa posição alinhada; com o comutador a corrente é trocada sincronizadamente para garantir torque contínuo de rotação.
Passo 7
Exemplo numérico curto (para fixar a aplicação na prova) \n
Suponha uma espira retangular com , corrente
, campo
e ângulo
. O torque é\n
Suponha uma espira retangular com
Como
, então\n
Se tivermos
voltas idênticas e paralelas, o torque total seria
vezes maior:
. \n
Comentário amigo: sei que contas com trigonometria e unidades podem dar um frio na barriga, mas é sempre direto — basta aplicar , multiplicar e lembrar de multiplicar por
se houver várias voltas.
Comentário amigo: sei que contas com trigonometria e unidades podem dar um frio na barriga, mas é sempre direto — basta aplicar