TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE
Esse é o princípio de funcionamento de motores elétricos, onde temos um campo magnético exercendo forças sobre fios percorridos por correntes elétricas:
Nos lados maiores, as forças magnéticas se anulam, não há deslocamento linear, no entanto, haverá um torque tal qual a um dipolo elétrico imerso em um campo elétrico (ver aula 1);
Esse torque tende a fazer a espira girar de forma que o vetor normal a superfície da espira se alinhe ao campo magnético, então, o braço da alavanca é dado por h.
O módulo do torque será:
\tau=F_{B} \cdot h=(i L B \operatorname{sen} \theta) \cdot h
Note que L \cdot h=A, ou seja, a área limitada pela espira:
\tau=i A B \operatorname{sen} \theta
Se tivermos um conjunto com N espiras, o torque total será dado por:
\tau_{T}=N \tau=N i A B \operatorname{sen} \theta
Nos motores, quando a espira está prestes a se alinhar com o campo magnético, a corrente é invertida de modo que um toque continua a fazer com que a espira gire. Essa inversão automática da corrente é feita por um comutador.

Passo 1

O enunciado mostra uma espira retangular percorrida por uma corrente elétrica i imersa em um campo magnético uniforme \vec{B}. Pergunta-se (implicitamente) qual é o torque que age sobre a espira e como fica esse torque se tivermos N espiras; também aparece o esquema do comutador — então precisamos explicar por que o comutador inverte a corrente e como isso mantém o movimento de rotação.\n
Informações dadas e elementos relevantes: \n
  • A espira é retangular com lados de comprimento L (lado maior) e h (distância entre os lados que recebem forças opostas). \n
  • A área limitada pela espira é A e foi afirmado que L\cdot h = A. \n
  • A corrente na espira é i. \n
  • O campo magnético é \vec{B}, presumivelmente aproximadamente uniforme entre os pólos do ímã. \n
  • Define-se um ângulo \theta entre o vetor normal da superfície da espira e \vec{B} (ou, equivalentemente, entre o plano da espira e \vec{B}, conforme a convenção usada no enunciado). \n
  • Também é mencionado um conjunto de N espiras (bobina), e pede-se o torque total. \n
  • Há um comutador que inverte a corrente quando a espira se aproxima do alinhamento com \vec{B}; devemos explicar por que isso é necessário. \n

Passo 2

Entender a força magnética sobre um fio retilíneo percorrido por corrente: a base física\n
Fórmula fundamental: a força magnética sobre um segmento retilíneo de fio que conduz corrente é dada por\n
\vec{F}_B = i \, \vec{L} \times \vec{B},\n
onde: \n
  • i é a corrente que atravessa o fio (em ampères), \n
  • \vec{L} é um vetor cujo módulo é o comprimento do segmento de fio ( L no caso) e cuja direção é a mesma da corrente (unidade de comprimento: metro), \n
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla), \n
  • o símbolo \times indica produto vetorial; o módulo da força fica |\vec{F}_B| = i\,L\,B\,\sin\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \vec{L} e \vec{B}. \n\n
    Explicação intuitiva: cargas em movimento (a corrente) sentem uma força perpendicular tanto à direção do movimento (fio) quanto ao campo magnético. O sinal e direção seguem a regra da mão direita para o produto vetorial.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos lados da espira e identificando o par de forças que gera torque\n
Observe a espira retangular com dois lados “verticais” (vou chamar os lados que interagem significativamente com \vec{B} de lado 1 e lado 3, separados por distância h) e dois lados “horizontais” que ficam paralelos a \vec{B} (nestes últimos a força é nula ou se anula). \n
  • Para os lados paralelos a \vec{B}, o ângulo \varphi entre \vec{L} e \vec{B} é 0^\circ ou 180^\circ, então \sin\varphi=0 e a força magnética sobre esses lados é (praticamente) zero. Por isso não há deslocamento linear da espira. \n
  • Para os dois lados opostos (cada um de comprimento L no enunciado): a corrente segue sentidos opostos nesses dois lados, então as forças magnéticas \vec{F}_1 e \vec{F}_3 têm sentidos opostos e pontos de ação separados por uma distância h. Essas duas forças formam um par de forças (um momento de forças), ou seja, geram um torque que tende a girar a espira. \n
    Módulo da força em cada lado (supondo que o fio nesse lado forma o ângulo tal que a força tenha o fator \sin\theta indicado no enunciado):\n
F_B = i\,L\,B\,\sin\theta.\n
Essa expressão provém diretamente de |\vec{F}_B|=iLB\sin\varphi, onde aqui o ângulo relevante é dado pelo enunciado como \theta. \n
Agora o torque gerado por esse par de forças (módulo): o torque de um par de forças opostas F_B separadas por distância h tem módulo\n
\tau = F_B \cdot h = (i\,L\,B\,\sin\theta)\cdot h.\n
Aqui estamos usando a definição física do momento de um par de forças: torque = força × braço da alavanca.

Passo 4

Simplificação com a área da espira e interpretação física final\n
Como o enunciado já indicou, L\cdot h = A, a área da espira. Substituindo na expressão do passo anterior:\n
\tau = i\,L\,B\,\sin\theta\cdot h = i\,(L h)\,B\,\sin\theta = i\,A\,B\,\sin\theta.\n
Isso é a expressão para o módulo do torque que tende a girar a espira. Interpretação física: o torque é máximo quando \sin\theta=1, ou seja, quando o plano da espira está parallel ao campo e o vetor normal está perpendicular; o torque é zero quando \sin\theta=0, isto é, quando o vetor normal da espira já está alinhado com \vec{B} (espira em posição estável ou instável, dependendo do sentido da corrente). \n
Portanto, para N voltas (espiras em série bem próximas), cada volta gera o mesmo torque, logo o torque total vale\n
\tau_T = N\,i\,A\,B\,\sin\theta.

Passo 5

Forma vetorial e o momento de dipolo magnético (conceito enxuto e útil na prova)\n
É comum e muito prático definir o momento de dipolo magnético (ou momento magnético) da espira:\n
\vec{\mu} = i\,A\,\hat{n},\n
onde \hat{n} é o versor normal à superfície da espira dado pela regra da mão direita (rote a mão no sentido da corrente e o polegar indica \hat{n}). O módulo de \vec{\mu} é |\vec{\mu}|=iA. \n
O torque sobre um dipolo magnético em um campo é dado por\n
\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}.\n
Em módulo isso gera a mesma expressão obtida antes:\n
\tau = \mu\,B\,\sin\theta = (iA)\,B\,\sin\theta,\n
e para N espiras \vec{\mu}_{\text{total}} = N i A \hat{n} e então \vec{\tau} = \vec{\mu}_{\text{total}}\times\vec{B}. \n
Comentário didático: usar o momento magnético é uma forma elegante e curta de obter o torque sem ficar “contando forças” na hora — ótimo para prova e para problemas com geometrias mais complicadas.

Passo 6

Por que a espira gira e qual é o papel do comutador (explicação prática e motivadora)\n
  • O torque tende a alinhar \hat{n} com \vec{B} porque isso minimiza a energia magnética -\vec{\mu}\cdot\vec{B}. \n
  • Quando a espira se aproxima de \hat{n} paralelo a \vec{B} (isto é, \theta\to 0), \sin\theta\to 0 e o torque tende a zero: sem intervenção a espira ficaria parada alinhada (ou na posição oposta, dependendo do sentido). \n
  • Para um motor elétrico contínuo queremos movimento contínuo: quando a espira alcança a posição em que o torque mudaria de sinal (passando pelo alinhamento), devemos inverter a corrente na espira para que o torque continue no mesmo sentido de rotação ao invés de começar a retardar a rotação. \n
  • O comutador (comutador mecânico + escovas) faz exatamente isso: ele inverte o sentido da corrente na espira a cada meia volta, de modo que o momento magnético \vec{\mu} também inverte de sentido no instante adequado. Isso faz com que o produto vetorial \vec{\mu}\times\vec{B} continue apontando para o mesmo sentido de rotação, mantendo a espira girando sempre na mesma direção. \n
    Resumo funcional: sem o comutador a espira oscilaria e poderia parar numa posição alinhada; com o comutador a corrente é trocada sincronizadamente para garantir torque contínuo de rotação.

Passo 7

Exemplo numérico curto (para fixar a aplicação na prova) \n
Suponha uma espira retangular com A=0{,}02\\ \text{m}^2, corrente i=3\\ \text{A}, campo B=0{,}5\\ \text{T} e ângulo \theta=30^\circ. O torque é\n
\tau = i A B \sin\theta = 3\cdot 0{,}02\cdot 0{,}5\cdot \sin(30^\circ).\n
Como \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}, então\n
\tau = 3\cdot 0{,}02\cdot 0{,}5\cdot \tfrac{1}{2} = 0{,}015\\ \text{N}\cdot\text{m}.\n
Se tivermos N=100 voltas idênticas e paralelas, o torque total seria 100 vezes maior: \tau_T=1{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}. \n
Comentário amigo: sei que contas com trigonometria e unidades podem dar um frio na barriga, mas é sempre direto — basta aplicar \sin, multiplicar e lembrar de multiplicar por N se houver várias voltas.

Resposta

\tau = i\,A\,B\,\sin\theta\n
\tau_T = N\,i\,A\,B\,\sin\theta\n
\vec{\tau} = \vec{\mu}\times\vec{B}, com \vec{\mu}=iA\hat{n} e, para N espiras, \vec{\mu}_{\text{total}}=N i A\hat{n}. Comutador: inverte a corrente a cada meia volta para manter o sentido do torque e, assim, a rotação contínua.

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