Uma torre de resfriamento de um reator nuclear deve ser construída na forma de um hiperboloide de uma folha. O diâmetro da base é de 280 metros, e o diâmetro mínimo, 500 metros acima da base, é de 200 metros. Encontre uma equação para a torre.
Equação geral das cônicas: Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Passo 1

O enunciado pede a equação de um hiperboloide de revolução que, em corte vertical, é uma hipérbole. No corte pelo plano que contém o eixo, basta achar a hipérbole cujos vértices correspondem ao diâmetro mínimo e que passe pela “boca” da torre. Vamos trabalhar no plano (x,y), onde y é a altura acima da base da torre e x é a semi-distância horizontal até a parede.

Passo 2

Definimos a hipérbole centrada em (0,y0), de modo que em y=y0 ela atinja a semi-distância mínima a. Como o diâmetro mínimo da torre é de 200,m a 500,m de altura, temos
a = 100, y0=500
e a forma padrão da hipérbole (ramos abrindo horizontalmente) é
x^2a^2 ; - ; (y - y0)^2c^2 ;=; 1

Passo 3

Agora usamos o ponto da base da torre: em y=0 a semi-distância é 140,m (metade de 280,m). Logo (x,y)=(140,0) satisfaz a equação, isto é,
140^2100^2 ; - ; (0-500)^2c^2 ;=; 1
Isso dá
1960010000 - 250000c^2 = 1 Longrightarrow 1,96 - 250000c^2 = 1 Longrightarrow 250000c^2 = 0,96 Longrightarrow c^2 = 2500000,96 = 260416,666ldots

Passo 4

Para evitar decimais, observe que
c^2=2500000,96=25000024/25=250000cdot2524=625000024=7812503
Portanto a hipérbole em forma padrão é
x^2100^2 ;-; (y-500)^2tfrac7812503 ;=;1

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 10000 e depois por 625 para chegar ao formato Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Primeiro:
x^2-100007812503(y-500)^2=10000 Longrightarrow x^2-24625(y-500)^2=10000
Multiplicando por 625:
625,x^2-24,(y-500)^2=6250000
Por fim expandimos (y-500)^2=y^2-1000y+250000 e trazemos tudo para um lado:

Passo 6

625,x^2 ;-;24l(y^2-1000y+250000r) ;-;6250000 ;=;0
625,x^2 ;-;24,y^2 ;+;24000,y ;-;6000000 ;-;6250000 ;=;0
boxed625,x^2;-;24,y^2;+;24000,y;-;12250000;=;0

Resposta

A equação geral da hipérbole que gera o hiperboloide de revolução é
625,x^2-24,y^2+24000,y-12250000=0,
onde y é a altura acima da base e x a semi-distância horizontal até a parede.

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