Uma torre de resfriamento de um reator nuclear deve ser construída na forma de um hiperboloide de uma folha. O diâmetro da base é de 280 metros, e o diâmetro mínimo, 500 metros acima da base, é de 200 metros. Encontre uma equação para a torre.
Equação geral das cônicas:
Equação geral das cônicas:
Passo 1
O enunciado pede a equação de um hiperboloide de revolução que, em corte vertical, é uma hipérbole. No corte pelo plano que contém o eixo, basta achar a hipérbole cujos vértices correspondem ao diâmetro mínimo e que passe pela “boca” da torre. Vamos trabalhar no plano
, onde
é a altura acima da base da torre e
é a semi-distância horizontal até a parede.
Passo 2
Definimos a hipérbole centrada em
, de modo que em
ela atinja a semi-distância mínima
. Como o diâmetro mínimo da torre é de
,m a
,m de altura, temos
e a forma padrão da hipérbole (ramos abrindo horizontalmente) é
Passo 3
Agora usamos o ponto da base da torre: em
a semi-distância é
,m (metade de
,m). Logo
satisfaz a equação, isto é,
Isso dá
Passo 4
Para evitar decimais, observe que
Portanto a hipérbole em forma padrão é
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
e depois por
para chegar ao formato
. Primeiro:
Multiplicando por
:
Por fim expandimos
e trazemos tudo para um lado:
Passo 6
Resposta
A equação geral da hipérbole que gera o hiperboloide de revolução é
onde
é a altura acima da base e
a semi-distância horizontal até a parede.