O trabalho desperdiçado por um oscilador harmônico amortecido. Uma tira elástica de constante
, que obedece a lei de Hooke, está fixa numa extremidade (pode imaginar uma mola). Por ação direta de uma massa
suspensa na outra extremidade, a mola executa oscilações amortecidas e dissipa energia até que estabiliza numa certa posição, sendo
a elongação da tira (distância entre a nova posição de equilíbrio e a antiga). Num outro processo quase estático, considere
passos iguais e, suspende-se até a mola um corpo de massa
. Se
é a distensão da mola ao colocar uma massa
(cada uma a altura diferente), o comprimento dela aumenta de
quando se coloca a massa total
.
a) Qual a energia potencial dissipada?
b) Qual o trabalho total desperdiçado, em função do número de passos
?
c) Supondo que a mola não aqueça durante o processo, encontre a variação de entropia do sistema massa-mola, em função de
.
d) Discuta a reversibilidade e irreversibilidade do sistema.
a) Qual a energia potencial dissipada?
b) Qual o trabalho total desperdiçado, em função do número de passos
c) Supondo que a mola não aqueça durante o processo, encontre a variação de entropia do sistema massa-mola, em função de
d) Discuta a reversibilidade e irreversibilidade do sistema.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Uma mola (ou tira elástica) obedece à lei de Hooke com constante
. - Uma massa total
é suspensa na extremidade livre da mola; depois de oscilar amortecidamente a mola estabiliza com elongação final . - Em outro processo, a mesma massa
é colocada em etapas iguais: em cada etapa se suspende uma massa . A distensão da mola ao colocar uma dessas massas é , e está dado que . - A gravidade vale
.
- Uma mola (ou tira elástica) obedece à lei de Hooke com constante
-
Pedidos:
a) Determinar a energia potencial (mecânica) dissipada no processo em que a massaé posta diretamente (o enunciado pede “Qual a energia potencial dissipada?”).
b) Determinar o trabalho total desperdiçado (energia dissipada) quando a mesma massa é colocada empassos iguais, ou seja, .
c) Supondo que a mola não aqueça durante o processo, encontrar a variação de entropia do sistema massa–mola, em função de.
d) Discutir a reversibilidade/irreversibilidade do processo.
Observações (apenas listagem; não há solução nesta etapa):
- A relação de equilíbrio entre mola e peso será usada (a mola em equilíbrio satisfaz
). - A energia armazenada na mola quando alongada
é . - A energia gravítica associada a uma massa que desce de altura
é .
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Encontrar a relação de equilíbrio entre
,
,
e
.
Ao final, quando a massa
estiver em equilíbrio estático, a força elástica equilibra o peso:
Isso é a lei de Hooke em equilíbrio: a força elástica
deve ser igual ao peso
.
Explicação didática rápida: a mola puxa para cima com força proporcional à elongação
e o peso puxa para baixo com
. No equilíbrio essas forças se igualam.
Passo 3
Energia envolvida no processo único (colocar de uma vez a massa
) — cálculo da energia dissipada.
- Energia potencial gravitacional perdida quando a massa desce até a nova posição de equilíbrio: a massa desce verticalmente uma distância
, logo a energia gravitacional liberada é
- Energia elástica armazenada na mola no novo equilíbrio é
- Energia dissipada (trabalho “desperdiçado” convertido em calor pelo amortecimento das oscilações) é a diferença entre a energia que entrou (gravidade) e a energia armazenada final na mola:
- Usando a relação de equilíbrio
podemos simplificar:
portanto
Também podemos escrever em termos de
:
Explicação pedagógica: metade da energia gravitacional que entrou fica armazenada na mola e a outra metade é perdida em calor devido ao amortecimento das oscilações. Esse resultado clássico aparece porque a energia elástica final é
enquanto a energia gravitacional fornecida é
(pela relação de equilíbrio), ficando metade sobrando como dissipação.
Passo 4
Energia dissipada quando se adiciona a massa em
passos iguais — cálculo por etapas.
Vamos calcular o que acontece na etapa
(onde
):
-
Após
etapas o total de massa pendurada é e a elongação é . -
Ao adicionar a
-ésima massa a elongação final passa para . -
Energia gravítica total perdida nessa etapa (isto é, a diminuição da energia potencial gravitacional do sistema inteiro durante a transição
): - as massas já presentes (total
) descem uma distância , contribuindo com ; - a nova massa
desce até a posição final a distância , contribuindo com .
Assim a energia gravítica liberada é
- as massas já presentes (total
-
A energia elástica armazenada incrementalmente na mola é
-
A energia dissipada naquele passo é a diferença:
Agora usamos a relação
com
e
. Substituindo e reorganizando:
E
Portanto
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Somando as etapas para obter o trabalho total desperdiçado em
passos.
Somamos
de
até
:
Usamos a soma dos
primeiros números ímpares:
Logo
Mas como
, temos
. Portanto
Conclusão importante: o trabalho dissipado é independente de
e é o mesmo que no caso de colocar a massa de uma vez. Em outras palavras, o total de energia convertida irreversivelmente em calor é sempre
.
Comentário didático: mesmo repartindo a massa em muitos passos, cada pequeno passo produz uma pequena dissipação; a soma dessas dissipações dá exatamente o mesmo valor. Isso mostra que o modo como as massas foram posta (cada uma solta desde a posição de apoio) gera sempre a mesma perda total, não importando
.
Passo 6
Variação de entropia do sistema massa–mola, supondo que a mola não aqueça.
Definição prática: a variação de entropia de um sistema é dada por
onde
é o calor trocado reversivelmente com o sistema. Se o sistema não recebe calor (isto é, a mola e a massa não aumentam sua energia térmica), então
e portanto a variação de entropia do sistema é zero:
Explicação intuitiva: toda a energia dissipada pelas oscilações vira calor no ambiente (no ar, no amortecedor, etc.). Se a mola e a massa não aquecem, então não houve fluxo de calor para o sistema massa–mola; como a entropia do sistema só muda quando ele troca calor, a entropia do sistema permanece a mesma, independentemente de
.
Observação adicional (para entendimento completo): a entropia do ambiente aumenta. Se a dissipação
é despejada como calor num reservatório térmico à temperatura
, a variação de entropia do reservatório (e portanto do universo) é aproximadamente
o que é positivo — sinal de irreversibilidade.
Passo 7
Discussão sobre reversibilidade e irreversibilidade do processo.
-
O processo descrito (soltar a massa inteira de uma vez ou soltar fatias
vindas do apoio) é irreversível. Razões: - Há amortecimento: oscilações mecânicas são convertidas em calor, aumentando a entropia do ambiente.
- Mesmo ao dividir em
passos, se cada pedaço de massa é solto a partir do apoio (ou seja, sem extrair energia útil enquanto a massa desce), cada etapa gera uma pequena oscilação e dissipação. A soma dessas dissipações é finita e igual a . - A entropia do universo aumenta em
, o que caracteriza irreversibilidade.
-
Quando o processo seria reversível?
- Para ser reversível seria necessário que nenhuma energia fosse irreversivelmente convertida em calor: isto exige que a energia gravitacional liberada ao baixar a massa fosse sempre aproveitada (por exemplo, realizando trabalho externo reversivelmente), ou que a massa fosse retirada infinitesimalmente com um mecanismo que devolva toda energia disponível. Um dispositivo que baixa muito lentamente e extrai a energia como trabalho útil (sem gerar oscilações amortecidas) poderia tornar o processo reversível. No procedimento proposto (soltar massas do apoio e deixá-las oscilar), isso não ocorre.
Resumo físico e intuitivo: a razão física da irreversibilidade é que há movimento relativo (oscilações) que é amortecido; a energia mecânica é transformada em energia térmica do ambiente de maneira não recuperável, aumentando a entropia.
Resposta
(a)
\n
(b) (independente de
)\n
(c) \n
(d) O processo é irreversível (energia dissipada vai para o ambiente, aumentando a entropia do universo; somente com um mecanismo que extraia reversivelmente todo o trabalho durante a descida seria possível torná-lo reversível).
(b)
(c)
(d) O processo é irreversível (energia dissipada