O trabalho desperdiçado por um oscilador harmônico amortecido. Uma tira elástica de constante k, que obedece a lei de Hooke, está fixa numa extremidade (pode imaginar uma mola). Por ação direta de uma massa m suspensa na outra extremidade, a mola executa oscilações amortecidas e dissipa energia até que estabiliza numa certa posição, sendo h a elongação da tira (distância entre a nova posição de equilíbrio e a antiga). Num outro processo quase estático, considere \boldsymbol{N} passos iguais e, suspende-se até a mola um corpo de massa \Delta m=m / N. Se \Delta h é a distensão da mola ao colocar uma massa \Delta m (cada uma a altura diferente), o comprimento dela aumenta de h=N \Delta h quando se coloca a massa total m.
a) Qual a energia potencial dissipada?
b) Qual o trabalho total desperdiçado, em função do número de passos N ?
c) Supondo que a mola não aqueça durante o processo, encontre a variação de entropia do sistema massa-mola, em função de N.
d) Discuta a reversibilidade e irreversibilidade do sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma mola (ou tira elástica) obedece à lei de Hooke com constante k.
    • Uma massa total m é suspensa na extremidade livre da mola; depois de oscilar amortecidamente a mola estabiliza com elongação final h.
    • Em outro processo, a mesma massa m é colocada em N etapas iguais: em cada etapa se suspende uma massa \Delta m = m/N. A distensão da mola ao colocar uma dessas massas é \Delta h, e está dado que h = N \Delta h.
    • A gravidade vale g.
  • Pedidos:
    a) Determinar a energia potencial (mecânica) dissipada no processo em que a massa m é posta diretamente (o enunciado pede “Qual a energia potencial dissipada?”).
    b) Determinar o trabalho total desperdiçado (energia dissipada) quando a mesma massa é colocada em N passos iguais, ou seja, W_{\mathrm{diss}}(N).
    c) Supondo que a mola não aqueça durante o processo, encontrar a variação de entropia do sistema massa–mola, em função de N.
    d) Discutir a reversibilidade/irreversibilidade do processo.
Observações (apenas listagem; não há solução nesta etapa):
  • A relação de equilíbrio entre mola e peso será usada (a mola em equilíbrio satisfaz k h = m g).
  • A energia armazenada na mola quando alongada x é \tfrac{1}{2} k x^2.
  • A energia gravítica associada a uma massa que desce de altura y é m g y.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Encontrar a relação de equilíbrio entre h, m, k e g.
Ao final, quando a massa m estiver em equilíbrio estático, a força elástica equilibra o peso:
k h = m g.
Isso é a lei de Hooke em equilíbrio: a força elástica F_{\text{el}}=k h deve ser igual ao peso m g.
Explicação didática rápida: a mola puxa para cima com força proporcional à elongação h e o peso puxa para baixo com m g. No equilíbrio essas forças se igualam.

Passo 3

Energia envolvida no processo único (colocar de uma vez a massa m) — cálculo da energia dissipada.
  • Energia potencial gravitacional perdida quando a massa desce até a nova posição de equilíbrio: a massa desce verticalmente uma distância h, logo a energia gravitacional liberada é
\Delta U_g = m g h.
  • Energia elástica armazenada na mola no novo equilíbrio é
U_{\text{mola}} = \tfrac{1}{2} k h^2.
  • Energia dissipada (trabalho “desperdiçado” convertido em calor pelo amortecimento das oscilações) é a diferença entre a energia que entrou (gravidade) e a energia armazenada final na mola:
E_{\text{diss}} = \Delta U_g - U_{\text{mola}} = m g h - \tfrac{1}{2} k h^2.
  • Usando a relação de equilíbrio k h = m g podemos simplificar:
m g h = k h^2,
portanto
E_{\text{diss}} = k h^2 - \tfrac{1}{2} k h^2 = \tfrac{1}{2} k h^2.
Também podemos escrever em termos de m,g,h:
E_{\text{diss}} = \tfrac{1}{2} m g h.
Explicação pedagógica: metade da energia gravitacional que entrou fica armazenada na mola e a outra metade é perdida em calor devido ao amortecimento das oscilações. Esse resultado clássico aparece porque a energia elástica final é \tfrac{1}{2}k h^2 enquanto a energia gravitacional fornecida é k h^2 (pela relação de equilíbrio), ficando metade sobrando como dissipação.

Passo 4

Energia dissipada quando se adiciona a massa em N passos iguais — cálculo por etapas.
Vamos calcular o que acontece na etapa j (onde j=1,2,\dots,N):
  • Após j-1 etapas o total de massa pendurada é M_{j-1}=(j-1)\Delta m e a elongação é h_{j-1}=(j-1)\Delta h.
  • Ao adicionar a j-ésima massa \Delta m a elongação final passa para h_j=j\Delta h.
  • Energia gravítica total perdida nessa etapa (isto é, a diminuição da energia potencial gravitacional do sistema inteiro durante a transição h_{j-1}\to h_j):
    • as massas já presentes (total M_{j-1}) descem uma distância \Delta h, contribuindo com (M_{j-1}) g \Delta h;
    • a nova massa \Delta m desce até a posição final a distância h_j, contribuindo com \Delta m\, g\, h_j.
      Assim a energia gravítica liberada é
    \Delta U_g^{(j)} = (M_{j-1}) g \Delta h + \Delta m\, g\, h_j.
  • A energia elástica armazenada incrementalmente na mola é
    \Delta U_{\text{mola}}^{(j)} = \tfrac{1}{2} k h_j^2 - \tfrac{1}{2} k h_{j-1}^2.
  • A energia dissipada naquele passo é a diferença:
    E_{\text{diss}}^{(j)} = \Delta U_g^{(j)} - \Delta U_{\text{mola}}^{(j)}.
Agora usamos a relação k h_j = M_j g com M_j = j\Delta m e k h_{j-1}=M_{j-1} g. Substituindo e reorganizando:
\Delta U_g^{(j)} = k h_{j-1}\,\Delta h + k \Delta h\, h_j = k\Delta h\,(h_{j-1}+h_j).
E
\Delta U_{\text{mola}}^{(j)} = \tfrac{1}{2} k (h_j^2 - h_{j-1}^2) = \tfrac{1}{2} k (h_j+h_{j-1})\,\Delta h.
Portanto
E_{\text{diss}}^{(j)} = k\Delta h\,(h_{j-1}+h_j) - \tfrac{1}{2} k (h_j+h_{j-1})\,\Delta h = \tfrac{1}{2} k (h_j+h_{j-1})\,\Delta h.
Substituindo h_j=j\Delta h e h_{j-1}=(j-1)\Delta h obtemos
E_{\text{diss}}^{(j)} = \tfrac{1}{2} k (2j-1)(\Delta h)^2.

Passo 5

Somando as etapas para obter o trabalho total desperdiçado em N passos.
Somamos E_{\text{diss}}^{(j)} de j=1 até N:
W_{\mathrm{diss}}(N)=\sum_{j=1}^{N} E_{\text{diss}}^{(j)} = \tfrac{1}{2} k (\Delta h)^2 \sum_{j=1}^{N} (2j-1).
Usamos a soma dos N primeiros números ímpares:
\sum_{j=1}^{N}(2j-1)=N^2.
Logo
W_{\mathrm{diss}}(N)=\tfrac{1}{2} k (\Delta h)^2 N^2.
Mas como h = N\Delta h, temos N^2(\Delta h)^2 = h^2. Portanto
W_{\mathrm{diss}}(N)=\tfrac{1}{2} k h^2.
Conclusão importante: o trabalho dissipado é independente de N e é o mesmo que no caso de colocar a massa de uma vez. Em outras palavras, o total de energia convertida irreversivelmente em calor é sempre \tfrac{1}{2} k h^2.
Comentário didático: mesmo repartindo a massa em muitos passos, cada pequeno passo produz uma pequena dissipação; a soma dessas dissipações dá exatamente o mesmo valor. Isso mostra que o modo como as massas foram posta (cada uma solta desde a posição de apoio) gera sempre a mesma perda total, não importando N.

Passo 6

Variação de entropia do sistema massa–mola, supondo que a mola não aqueça.
Definição prática: a variação de entropia de um sistema é dada por
\Delta S_{\text{sistema}} = \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente com o sistema. Se o sistema não recebe calor (isto é, a mola e a massa não aumentam sua energia térmica), então Q_{\text{sistema}}=0 e portanto a variação de entropia do sistema é zero:
\Delta S_{\text{sistema}}(N)=0.
Explicação intuitiva: toda a energia dissipada pelas oscilações vira calor no ambiente (no ar, no amortecedor, etc.). Se a mola e a massa não aquecem, então não houve fluxo de calor para o sistema massa–mola; como a entropia do sistema só muda quando ele troca calor, a entropia do sistema permanece a mesma, independentemente de N.
Observação adicional (para entendimento completo): a entropia do ambiente aumenta. Se a dissipação W_{\mathrm{diss}}=\tfrac{1}{2}k h^2 é despejada como calor num reservatório térmico à temperatura T, a variação de entropia do reservatório (e portanto do universo) é aproximadamente
\Delta S_{\text{ambiente}} = \frac{W_{\mathrm{diss}}}{T} = \frac{\tfrac{1}{2}k h^2}{T},
o que é positivo — sinal de irreversibilidade.

Passo 7

Discussão sobre reversibilidade e irreversibilidade do processo.
  • O processo descrito (soltar a massa inteira de uma vez ou soltar fatias \Delta m vindas do apoio) é irreversível. Razões:
    • Há amortecimento: oscilações mecânicas são convertidas em calor, aumentando a entropia do ambiente.
    • Mesmo ao dividir em N passos, se cada pedaço de massa é solto a partir do apoio (ou seja, sem extrair energia útil enquanto a massa desce), cada etapa gera uma pequena oscilação e dissipação. A soma dessas dissipações é finita e igual a \tfrac{1}{2}k h^2.
    • A entropia do universo aumenta em \Delta S_{\mathrm{univ}}=W_{\mathrm{diss}}/T>0, o que caracteriza irreversibilidade.
  • Quando o processo seria reversível?
    • Para ser reversível seria necessário que nenhuma energia fosse irreversivelmente convertida em calor: isto exige que a energia gravitacional liberada ao baixar a massa fosse sempre aproveitada (por exemplo, realizando trabalho externo reversivelmente), ou que a massa fosse retirada infinitesimalmente com um mecanismo que devolva toda energia disponível. Um dispositivo que baixa muito lentamente e extrai a energia como trabalho útil (sem gerar oscilações amortecidas) poderia tornar o processo reversível. No procedimento proposto (soltar massas do apoio e deixá-las oscilar), isso não ocorre.
Resumo físico e intuitivo: a razão física da irreversibilidade é que há movimento relativo (oscilações) que é amortecido; a energia mecânica é transformada em energia térmica do ambiente de maneira não recuperável, aumentando a entropia.

Resposta

(a) E_{\text{diss}}=\tfrac{1}{2}k h^{2}=\tfrac{1}{2}m g h\n
(b) W_{\mathrm{diss}}(N)=\tfrac{1}{2}k h^{2} (independente de N)\n
(c) \Delta S_{\text{sistema}}(N)=0\n
(d) O processo é irreversível (energia dissipada =\tfrac{1}{2}k h^{2} vai para o ambiente, aumentando a entropia do universo; somente com um mecanismo que extraia reversivelmente todo o trabalho durante a descida seria possível torná-lo reversível).

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