3^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: (10 pontos) Dada a equação
x \cdot \cos (y)=5
onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se \frac{d x}{d t}=-4, ache \frac{d y}{d t} quando y=\frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo são os dados que temos):
  • A equação que relaciona x e y é \,x\cdot\cos(y)=5\,.
  • x e y são funções de uma terceira variável t.
  • Foi dado que \dfrac{dx}{dt}=-4.
  • Pede-se \dfrac{dy}{dt} no instante em que y=\dfrac{\pi}{3}.
Observação importante: o enunciado não dá diretamente o valor de x nesse instante, mas podemos obter x a partir da equação \,x\cdot\cos(y)=5 avaliando em y=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Vamos derivar em relação a t a igualdade \,x(t)\cos(y(t))=5. Antes disso, revisando duas regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções de t, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)\,v(t)\big)=\frac{du}{dt}\,v(t)+u(t)\,\frac{dv}{dt}.
Aqui cada símbolo significa: u(t) e v(t) são funções; \dfrac{du}{dt} e \dfrac{dv}{dt} são suas derivadas em relação a t.
  • Regra da cadeia (para uma função composta): se w(t)=\cos(y(t)), então
\frac{dw}{dt}=\frac{d}{dt}\cos\big(y(t)\big)=-\sin\big(y(t)\big)\cdot\frac{dy}{dt}.
Ou seja, derivamos a função externa \cos(\cdot) (que vira -\sin(\cdot)) e multiplicamos pela derivada da função interna y(t).
Vou aplicar essas regras à expressão x(t)\cos(y(t)).

Passo 3

Aplicando a regra do produto em \,x(t)\cos(y(t))\, e lembrando que a derivada da constante 5 é 0, obtemos:
\frac{d}{dt}\big(x\cos(y)\big)=\frac{dx}{dt}\cos(y)+x\cdot\frac{d}{dt}\cos(y)=0.
Agora substituímos a derivada de \cos(y) pela regra da cadeia:
\frac{dx}{dt}\cos(y)+x\cdot\big(-\sin(y)\cdot\frac{dy}{dt}\big)=0.
Simplificando:
\frac{dx}{dt}\cos(y)-x\sin(y)\,\frac{dy}{dt}=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dt} na expressão anterior. A equação é
\frac{dx}{dt}\cos(y)-x\sin(y)\,\frac{dy}{dt}=0.
Passando o segundo termo para o outro lado e dividindo por x\sin(y) (assumindo \sin(y)\neq0 no instante em questão):
x\sin(y)\,\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}\cos(y).
Logo
\frac{dy}{dt}=\frac{\dfrac{dx}{dt}\cos(y)}{x\sin(y)}.
Essa é a fórmula geral que vamos usar para calcular \dfrac{dy}{dt} quando soubermos x, \dfrac{dx}{dt} e y.

Passo 5

Precisamos dos valores numéricos no instante y=\dfrac{\pi}{3}.
Usamos a equação original \,x\cos(y)=5\, para achar x nesse instante:
x=\frac{5}{\cos(y)}.
Avaliar em y=\dfrac{\pi}{3}. Sabemos que \cos\big(\dfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{1}{2}. Portanto
x=\frac{5}{\tfrac{1}{2}}=10.

Passo 6

Também precisamos de \sin\big(\dfrac{\pi}{3}\big). Conhecendo os valores trigonométricos básicos,
\sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Substituímos na fórmula de \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}=\frac{\dfrac{dx}{dt}\cos(y)}{x\sin(y)}.
Com \dfrac{dx}{dt}=-4, \cos\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}, x=10 e \sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\frac{dy}{dt}=\frac{(-4)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)}{10\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador}=(-4)\cdot\frac{1}{2}=-2, \qquad \text{denominador}=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
Logo
\frac{dy}{dt}=-\frac{2}{5\sqrt{3}}.
Se quiser racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{dy}{dt}=-\frac{2}{5\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{15}.

Passo 8

Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, nesse instante em que y=\dfrac{\pi}{3}, y está diminuindo com o tempo — faz sentido porque x está decrescendo e para manter x\cos(y)=5 a função y ajusta-se de forma que o produto permaneça constante. Bom trabalho; você já sabe como aplicar derivação implícita e a regra da cadeia para problemas assim!

Resposta

\displaystyle -\frac{2}{5\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{15}

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