3^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: (10 pontos) Dada a equação
x \cdot \cos (y)=5
onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se \frac{d x}{d t}=-4, ache \frac{d y}{d t} quando y=\frac{\pi}{3}.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo são os dados que temos):
A equação que relaciona x e y é \,x\cdot\cos(y)=5\,.
x e y são funções de uma terceira variável t.
Foi dado que \dfrac{dx}{dt}=-4.
Pede-se \dfrac{dy}{dt} no instante em que y=\dfrac{\pi}{3}.
Observação importante: o enunciado não dá diretamente o valor de x nesse instante, mas podemos obter x a partir da equação \,x\cdot\cos(y)=5 avaliando em y=\dfrac{\pi}{3}.
Passo 2
Vamos derivar em relação a t a igualdade \,x(t)\cos(y(t))=5. Antes disso, revisando duas regras que vamos usar:
Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções de t, então
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, nesse instante em que y=\dfrac{\pi}{3}, y está diminuindo com o tempo — faz sentido porque x está decrescendo e para manter x\cos(y)=5 a função y ajusta-se de forma que o produto permaneça constante. Bom trabalho; você já sabe como aplicar derivação implícita e a regra da cadeia para problemas assim!