Choques inelásticos.
Uma bola metálica de massa
de capacidade térmica
e que se move à velocidade
tem temperatura
. Choca com um bloco também metálico, de massa
tão grande que se pode considerar infinita ou bloco preso no piso por um prego, igualmente à temperatura
. O choque é completamente inelástico, pode-se imaginar o bloco como um imã. Mostre que o processo é irreversível.
Uma bola metálica de massa
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede que se mostre que o processo é irreversível.
- Uma bola metálica de massa
, capacidade térmica (à pressão adequada ao problema) , temperatura inicial e velocidade inicial . - Um bloco metálico de massa
muito grande (ou preso ao chão), também à temperatura . Pode ser tratado como um reservatório térmico quase infinito. - O choque entre a bola e o bloco é totalmente inelástico (a bola “gruda” / para em relação ao bloco). Pode imaginar o bloco como um imã que imobiliza a bola.
- Pede-se: mostrar que o processo (a colisão) é irreversível.
Informações relevantes que vamos usar:
- Energia cinética inicial da bola:
. - Pelo princípio da conservação da energia, a energia cinética perdida transforma-se em energia interna (calor) nos corpos.
- Definição operacional de irreversibilidade: um processo é irreversível se implica aumento líquido de entropia do sistema + vizinhança; para processos reversíveis a entropia total não aumenta.
- Fórmula útil para variação de entropia em troca de calor com um reservatório a temperatura constante:
(quando é recebido por um reservatório à temperatura ).
Passo 2
Calcular a energia cinética perdida na colisão.
A energia cinética inicial da bola é
Após a colisão, como o bloco é muito grande/imóvel, a bola fica parada (relativamente ao bloco) e a energia cinética macroscópica associada ao movimento transladacional da bola foi perdida. Logo a quantidade de energia mecânica dissipada é
Explicação física: em um choque totalmente inelástico a energia cinética macroscópica que não é conservada é transformada em energia interna (microscópica) — oscilações, plastificação, aquecimento local — isto é, em calor espalhado entre a bola e o bloco.
Passo 3
Identificar para onde vai essa energia dissipada e relacioná-la com temperatura e capacidade térmica.
A energia
é absorvida pelos corpos envolvidos (bola e bloco) como aumento de energia interna. Como o bloco tem massa efetivamente infinita, sua temperatura prática não muda (ele age como reservatório térmico à temperatura
); parte importante do calor pode ser absorvida pelo bloco sem variação apreciável de sua temperatura. A bola, com capacidade térmica
, poderia ter um pequeno aumento de temperatura
dado por (caso toda a energia fosse absorvida pela bola)
Mas no cenário real a energia se distribui entre bola e bloco; o ponto importante é que calor positivo
é gerado e absorvido por corpos que estão essencialmente à temperatura
.
Passo 4
Apresentar o conceito de entropia e como calcular a variação causada por esse aquecimento.
Lembrete didático: entropia é a grandeza termodinâmica que mede a irreversibilidade / dispersão de energia. Para uma quantidade de calor
trocada reversivelmente com um reservatório à temperatura
, a variação de entropia do reservatório é
Se um corpo recebe uma quantidade finita de calor
de um reservatório à temperatura constante
, a variação de entropia do reservatório é
(o reservatório perde
), e a variação de entropia do corpo que recebe o calor, se o corpo permanecer sempre praticamente à mesma temperatura
(ou se o calor for finalmente cedido a um reservatório a
), produz um acréscimo de entropia total mínimo igual a
. Em palavras: transformar energia cinética ordenada em calor absorvido por um reservatório a temperatura
aumenta a entropia em
.
Passo 5
Aplicar esses conceitos ao choque e calcular a variação de entropia associada.
No choque, a energia mecânica ordenada
é irreversivelmente convertida em calor. Como o bloco pode ser considerado um reservatório térmico à temperatura
, a quantidade mínima de aumento de entropia do conjunto (bola + bloco + vizinhança) associada a essa dissipação é
Observações didáticas:
- A desigualdade aparece porque, se parte do calor causar pequena variação de temperatura na bola, a entropia total será ainda maior (por exemplo, se a bola aquece para
, sua entropia aumenta mais que pela curva logarítmica; tomar o bloco como reservatório dá o menor aumento possível). - Como
para , segue que .
Passo 6
Concluir por que isso implica irreversibilidade e oferecer um argumento físico alternativo (intuitivo).
Ter
significa que a colisão aumenta a entropia do universo: processo irreversível. Intuitivamente: a energia cinética é energia macroscópica ordenada; ao ser transformada em calor microscópico (agitação térmica) perde-se a capacidade de recuperar essa energia em forma de movimento com 100% de eficiência sem gasto de trabalho externo. Para reverter espontaneamente o processo seria preciso que o calor disperso no bloco/bola se concentrasse de novo como energia cinética da bola — isso violaria o segundo princípio da termodinâmica (não existe máquina térmica que converta integralmente calor extraído de um único reservatório em trabalho cíclico), portanto a colisão não é reversível.
Passo 7
Resumo final e reforço pedagógico.
- Energia mecânica perdida na colisão:
. - Variação mínima de entropia associada:
para . - Logo o processo é irreversível: há aumento de entropia e não existe retorno espontâneo ao estado inicial com a mesma energia mecânica organizacional sem intervenção externa.
Força moral: não se desespere com enunciados assim — a ideia central é sempre a mesma: “energia ordenada vira calor → entropia aumenta → irreversível”.
Resposta
O processo é irreversível; a energia dissipada é
e a variação mínima de entropia é
.