Choques inelásticos.
Uma bola metálica de massa m de capacidade térmica C e que se move à velocidade v tem temperatura T. Choca com um bloco também metálico, de massa M tão grande que se pode considerar infinita ou bloco preso no piso por um prego, igualmente à temperatura T. O choque é completamente inelástico, pode-se imaginar o bloco como um imã. Mostre que o processo é irreversível.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que se mostre que o processo é irreversível.
  • Uma bola metálica de massa m, capacidade térmica (à pressão adequada ao problema) C, temperatura inicial \,T e velocidade inicial \,v.
  • Um bloco metálico de massa M muito grande (ou preso ao chão), também à temperatura \,T. Pode ser tratado como um reservatório térmico quase infinito.
  • O choque entre a bola e o bloco é totalmente inelástico (a bola “gruda” / para em relação ao bloco). Pode imaginar o bloco como um imã que imobiliza a bola.
  • Pede-se: mostrar que o processo (a colisão) é irreversível.
Informações relevantes que vamos usar:
  • Energia cinética inicial da bola: \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Pelo princípio da conservação da energia, a energia cinética perdida transforma-se em energia interna (calor) nos corpos.
  • Definição operacional de irreversibilidade: um processo é irreversível se implica aumento líquido de entropia do sistema + vizinhança; para processos reversíveis a entropia total não aumenta.
  • Fórmula útil para variação de entropia em troca de calor com um reservatório a temperatura constante: \Delta S = \dfrac{Q}{T} (quando Q é recebido por um reservatório à temperatura T).

Passo 2

Calcular a energia cinética perdida na colisão.
A energia cinética inicial da bola é
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v^2.
Após a colisão, como o bloco é muito grande/imóvel, a bola fica parada (relativamente ao bloco) e a energia cinética macroscópica associada ao movimento transladacional da bola foi perdida. Logo a quantidade de energia mecânica dissipada é
Q_{\text{diss}}=\tfrac{1}{2} m v^2.
Explicação física: em um choque totalmente inelástico a energia cinética macroscópica que não é conservada é transformada em energia interna (microscópica) — oscilações, plastificação, aquecimento local — isto é, em calor espalhado entre a bola e o bloco.

Passo 3

Identificar para onde vai essa energia dissipada e relacioná-la com temperatura e capacidade térmica.
A energia Q_{\text{diss}} é absorvida pelos corpos envolvidos (bola e bloco) como aumento de energia interna. Como o bloco tem massa efetivamente infinita, sua temperatura prática não muda (ele age como reservatório térmico à temperatura \,T); parte importante do calor pode ser absorvida pelo bloco sem variação apreciável de sua temperatura. A bola, com capacidade térmica C, poderia ter um pequeno aumento de temperatura \Delta T_{\text{bola}} dado por (caso toda a energia fosse absorvida pela bola)
\Delta T_{\text{bola}}=\frac{Q_{\text{diss}}}{C}=\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{C}.
Mas no cenário real a energia se distribui entre bola e bloco; o ponto importante é que calor positivo Q_{\text{diss}}>0 é gerado e absorvido por corpos que estão essencialmente à temperatura T.

Passo 4

Apresentar o conceito de entropia e como calcular a variação causada por esse aquecimento.
Lembrete didático: entropia é a grandeza termodinâmica que mede a irreversibilidade / dispersão de energia. Para uma quantidade de calor dQ_{\text{rev}} trocada reversivelmente com um reservatório à temperatura T, a variação de entropia do reservatório é
dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Se um corpo recebe uma quantidade finita de calor Q de um reservatório à temperatura constante T, a variação de entropia do reservatório é \Delta S_{\text{res}}=-\dfrac{Q}{T} (o reservatório perde Q), e a variação de entropia do corpo que recebe o calor, se o corpo permanecer sempre praticamente à mesma temperatura T (ou se o calor for finalmente cedido a um reservatório a T), produz um acréscimo de entropia total mínimo igual a \dfrac{Q}{T}. Em palavras: transformar energia cinética ordenada em calor absorvido por um reservatório a temperatura T aumenta a entropia em \dfrac{Q}{T}.

Passo 5

Aplicar esses conceitos ao choque e calcular a variação de entropia associada.
No choque, a energia mecânica ordenada Q_{\text{diss}}=\tfrac{1}{2} m v^2 é irreversivelmente convertida em calor. Como o bloco pode ser considerado um reservatório térmico à temperatura \,T, a quantidade mínima de aumento de entropia do conjunto (bola + bloco + vizinhança) associada a essa dissipação é
\Delta S_{\text{total}}\ge \frac{Q_{\text{diss}}}{T}=\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{T}.
Observações didáticas:
  • A desigualdade aparece porque, se parte do calor causar pequena variação de temperatura na bola, a entropia total será ainda maior (por exemplo, se a bola aquece para T+\Delta T, sua entropia aumenta mais que \tfrac{Q_{\text{diss, bola}}}{T} pela curva logarítmica; tomar o bloco como reservatório dá o menor aumento possível).
  • Como \tfrac{1}{2} m v^2>0 para v\neq 0, segue que \Delta S_{\text{total}}>0.

Passo 6

Concluir por que isso implica irreversibilidade e oferecer um argumento físico alternativo (intuitivo).
Ter \Delta S_{\text{total}}>0 significa que a colisão aumenta a entropia do universo: processo irreversível. Intuitivamente: a energia cinética é energia macroscópica ordenada; ao ser transformada em calor microscópico (agitação térmica) perde-se a capacidade de recuperar essa energia em forma de movimento com 100% de eficiência sem gasto de trabalho externo. Para reverter espontaneamente o processo seria preciso que o calor disperso no bloco/bola se concentrasse de novo como energia cinética da bola — isso violaria o segundo princípio da termodinâmica (não existe máquina térmica que converta integralmente calor extraído de um único reservatório em trabalho cíclico), portanto a colisão não é reversível.

Passo 7

Resumo final e reforço pedagógico.
  • Energia mecânica perdida na colisão: \,Q_{\text{diss}}=\tfrac{1}{2} m v^2.
  • Variação mínima de entropia associada: \displaystyle \Delta S_{\text{total}}\ge\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{T}>0 para v\neq 0.
  • Logo o processo é irreversível: há aumento de entropia e não existe retorno espontâneo ao estado inicial com a mesma energia mecânica organizacional sem intervenção externa.
Força moral: não se desespere com enunciados assim — a ideia central é sempre a mesma: “energia ordenada vira calor → entropia aumenta → irreversível”.

Resposta

O processo é irreversível; a energia dissipada é Q_{\text{diss}}=\tfrac{1}{2} m v^2 e a variação mínima de entropia é \displaystyle \Delta S_{\text{total}}\ge\frac{\tfrac{1}{2} m v^2}{T}>0.

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