O TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA DE ATRITO DEPENDE DA TRAJETÓRIA Você deseja mudar a disposição de seus móveis e desloca um sofá de 40,0 \mathrm{~kg} por uma distância de 2,50 \mathrm{~m} pela sala. Contudo, a trajetória retilínea é bloqueada por uma pesada mesa que você não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá ao longo de uma trajetória com dois trechos ortogonais, um trecho com comprimento de 2,0 \mathrm{~m} e o outro com 1,50 \mathrm{~m} de comprimento. Em comparação com o trabalho que seria realizado na trajetória retilínea, qual é o trabalho excedente que você deve realizar para deslocar o sofá ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais? O coeficiente de atrito cinético é 0,200 .

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar o trabalho realizado por você quando puxa o sofá ao longo de duas trajetórias e dizer qual é o trabalho excedente (a mais) necessário na trajetória em dois trechos ortogonais, em relação à trajetória retilínea.
Dados fornecidos:
  • massa do sofá: \,m=40{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • distância na trajetória retilínea: \,s_{\text{reta}}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • trajetória com dois trechos ortogonais: \,s_1=2{,}0\\ \mathrm{m} e \,s_2=1{,}50\\ \mathrm{m}. (Usei esses comprimentos do enunciado.)
  • coeficiente de atrito cinético: \,\mu_k=0{,}200.
  • a imagem mostra que a normal \,N é igual ao peso \,P (ou seja, \,N=P); usei essa informação da imagem.
    Pergunta final: qual é o trabalho excedente que você deve realizar ao usar a trajetória em dois trechos em vez da retilínea?

Passo 2

Conceito de força de atrito cinético e normal:
  • A força de atrito cinético tem intensidade dada por
f_k=\mu_k N,
onde \,f_k é a magnitude da força de atrito, \,\mu_k é o coeficiente de atrito e \,N é a força normal (a força que a superfície exerce verticalmente sobre o sofá).
  • Como a superfície é horizontal e não há aceleração vertical, a normal equilibra o peso, então
N=P=mg,
onde \,m é a massa e \,g é a aceleração da gravidade. (Usei a informação da imagem N=P.) Aqui tomamos \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Conceito de trabalho realizado pela força de atrito:
  • Para uma força de atrito constante que se opõe ao deslocamento retilíneo, o trabalho realizado pela força de atrito ao longo de um deslocamento \,s vale
W_{\text{atrito}} = -f_k\,s.
O sinal é negativo porque a força de atrito age na direção oposta ao deslocamento.
  • O “trabalho que você deve realizar” para vencer o atrito tem magnitude igual a |W_{\text{atrito}}|=f_k s. Para comparar trajetórias vamos comparar essas magnitudes (ou as diferenças dos trabalhos com sinal trocado).

Passo 4

Calcular a força de atrito numérica:
f_k=\mu_k N=\mu_k mg.
Substituindo os valores:
f_k = 0{,}200 \times 40{,}0 \times 9{,}80.
Faço as contas passo a passo: 40{,}0\times 9{,}80 = 392{,}0. Então
f_k = 0{,}200 \times 392{,}0 = 78{,}4\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Trabalho de atrito na trajetória retilínea:
  • distância \,s_{\text{reta}}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • magnitude do trabalho que você realiza contra o atrito:
|W_{\text{reta}}| = f_k s_{\text{reta}} = 78{,}4 \times 2{,}50.
Calculando:
|W_{\text{reta}}| = 196{,}0\\ \mathrm{J}.
(O trabalho da força de atrito será W_{\text{reta}}=-196{,}0\\ \mathrm{J}, mas a energia que você gasta para vencer isso é 196{,}0\\ \mathrm{J}.)

Passo 6

Trabalho de atrito na trajetória com dois trechos:
  • distância total \,s_{\text{ortogonal}}=s_1+s_2=2{,}0+1{,}50=3{,}50\\ \mathrm{m}.
  • magnitude do trabalho que você realiza:
|W_{\text{ortogonal}}| = f_k s_{\text{ortogonal}} = 78{,}4 \times 3{,}50.
Calculando:
|W_{\text{ortogonal}}| = 274{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Trabalho excedente (diferença entre os dois):
\Delta W = |W_{\text{ortogonal}}| - |W_{\text{reta}}| = 274{,}4 - 196{,}0 = 78{,}4\\ \mathrm{J}.
Também se nota que isso equivale a \Delta W = \mu_k m g \, (s_{\text{ortogonal}}-s_{\text{reta}}) = 0{,}200\times40{,}0\times9{,}80\times1{,}00 =78{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Interpretação final e encorajamento: esse \,78{,}4\\ \mathrm{J} é a energia extra que você precisa gastar porque a trajetória em dois trechos é 1{,}00\\ \mathrm{m} mais longa e o atrito dissipa energia proporcional ao caminho. Você já fez metade do caminho: entendeu a ideia física e as contas — manda ver na prova!

Resposta

78{,}4\\ \mathrm{J}

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