1 (Sistema de partículas, centro de massa, colisōes - 2,5 pontos)
Uma particula de massa m=20,0 \mathrm{~kg} desliza sem atrito num plano horizontal (x y) com velocidade \overline{\tau_{0}}=(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \bar{i} (onde i e j correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Em um certo instante, a partícula explode, partindo-se em dols pedaços. O primeiro pedaço, de massa 5,0 \mathrm{~kg}, move-se entăo com velocidade \vec{i}_{1}=(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i}+(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{j}. O segundo pedaço, de massa 15,0 \mathrm{~kg}, move-se com velocidade \vec{i}_{2}.
a) (1,0) Expresse \bar{i}_{2} em termos dos vetores unitários.
b) (1,0) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosâo em termos dos vetores unitários.
c) (0,5) Calcule a variaçăo de energia mecánica \Delta E_{\mathrm{m}} que ocorreu por causa da explosảo. Interprete fisicamente o sinal de \Delta E_{m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas. Dados:
\,m=20{,}0\\ \mathrm{kg} é a massa inicial da partícula.
\,\vec v_0=(10\\ \mathrm{m/s})\,\vec i é a velocidade antes da explosão.
A partícula se parte em dois pedaços:
\,m_1=5{,}0\\ \mathrm{kg} com \,\vec v_1=(5{,}0\\ \mathrm{m/s})\,\vec i+(5{,}0\\ \mathrm{m/s})\,\vec j.
\,m_2=15{,}0\\ \mathrm{kg} com \,\vec v_2 desconhecida.
Perguntas:
a) Expresse \vec v_2 em termos de \vec i e \vec j.
b) Expresse a velocidade do centro de massa após a explosão em termos de \vec i e \vec j.
c) Calcule a variação da energia mecânica \Delta E_{\mathrm{m}} causada pela explosão e interprete o sinal.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): quando não há forças externas impulsivas no instante da explosão no plano horizontal, o momento linear total do sistema é conservado. A conservação de momento diz que a soma dos momentos antes é igual à soma depois:
\sum \vec p_{\text{antes}}=\sum \vec p_{\text{depois}}.
Aqui \vec p=m\vec v. Antes da explosão há uma única partícula, então
\vec p_{\text{antes}}=m\,\vec v_0.
Depois, \vec p_{\text{depois}}=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2.
Igualando:
m\,\vec v_0=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2.
Dessa igualdade isolamos \vec v_2:
\vec v_2=\frac{m\,\vec v_0-m_1\vec v_1}{m_2}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Calculemos cada termo vetorial passo a passo (tudo em unidades SI). Primeiro o momento antes:
m\,\vec v_0=20{,}0\cdot(10\,\vec i)=200\,\vec i\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).
Agora m_1\vec v_1:
m_1\vec v_1=5{,}0\cdot\bigl(5{,}0\,\vec i+5{,}0\,\vec j\bigr)=25\,\vec i+25\,\vec j.
Subtraindo:
m\,\vec v_0-m_1\vec v_1=(200-25)\,\vec i-(25)\,\vec j=175\,\vec i-25\,\vec j.

Passo 4

Agora dividimos pelo m_2=15{,}0\\ \mathrm{kg} para obter \vec v_2:
\vec v_2=\frac{175}{15}\,\vec i-\frac{25}{15}\,\vec j.
Simplificando frações:
\vec v_2=\frac{35}{3}\,\vec i-\frac{5}{3}\,\vec j\quad(\mathrm{m/s}).
Esse é o resultado pedido no item (a). (Se quiser aproximado: \vec v_2\approx 11{,}67\,\vec i-1{,}67\,\vec j.)

Passo 5

Para o item (b): a velocidade do centro de massa do sistema é dada por
\vec v_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec v_i,
onde M=m_1+m_2=m. Pelo que usamos na conservação de momento,
\vec v_{\mathrm{cm}}=\frac{m\,\vec v_0}{m}=\vec v_0.
Portanto a velocidade do centro de massa após a explosão é a mesma que antes:
\vec v_{\mathrm{cm}}=(10\\ \mathrm{m/s})\,\vec i.
(Explicação: a explosão é interna, não altera a velocidade do centro de massa do sistema.)

Passo 6

Agora o item (c): variação da energia mecânica é a diferença entre a energia cinética final e a inicial:
\Delta E_{\mathrm{m}}=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Energia cinética inicial:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m v_0^2=\tfrac{1}{2}\cdot20{,}0\cdot(10)^2=1000\\ \mathrm{J}.
Energia cinética do pedaço 1:
primeiro calcule a velocidade ao quadrado: \vec v_1=(5,5) então
v_1^2=5^2+5^2=25+25=50.
Logo
K_1=\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2=\tfrac{1}{2}\cdot5{,}0\cdot50=125\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Energia cinética do pedaço 2:
primeiro calculamos v_2^2. Usando \vec v_2=\dfrac{35}{3}\,\vec i-\dfrac{5}{3}\,\vec j,
v_2^2=\Bigl(\frac{35}{3}\Bigr)^2+\Bigl(-\frac{5}{3}\Bigr)^2=\frac{35^2+5^2}{3^2}=\frac{1225+25}{9}=\frac{1250}{9}.
Agora
K_2=\tfrac{1}{2}m_2 v_2^2=\tfrac{1}{2}\cdot15{,}0\cdot\frac{1250}{9}=7{,}5\cdot\frac{1250}{9}=\frac{9375}{9}\\ \mathrm{J}.
Calculando em forma decimal (opcional): \dfrac{9375}{9}\approx1041{,}666\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Somando as energias finais:
K_{\text{final}}=K_1+K_2=125+\frac{9375}{9}=\frac{1125+9375}{9}=\frac{10500}{9}=\frac{3500}{3}\\ \mathrm{J}.
Valor decimal: K_{\text{final}}\approx1166{,}667\\ \mathrm{J}.
Então a variação é
\Delta E_{\mathrm{m}}=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=\frac{3500}{3}-1000=\frac{3500-3000}{3}=\frac{500}{3}\\ \mathrm{J}\approx166{,}667\\ \mathrm{J}.
Interpretação física do sinal: \Delta E_{\mathrm{m}}>0, ou seja, a energia cinética aumentou. Isso ocorre porque na explosão houve conversão de energia interna (por exemplo energia química) em energia cinética dos fragmentos. A conservação do momento linear não impede aumento (ou diminuição) da energia cinética quando há forças internas que realizam trabalho.

Resposta

\vec v_2=\dfrac{35}{3}\,\vec i-\dfrac{5}{3}\,\vec j\\ \mathrm{(m/s)}
\vec v_{\mathrm{cm}}=(10\\ \mathrm{m/s})\,\vec i
\Delta E_{\mathrm{m}}=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{J}\\ (\approx166{,}67\\ \mathrm{J}),\\ \text{positivo: energia interna foi convertida em energia cinética}é

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