1 (Sistema de partículas, centro de massa, colisōes - 2,5 pontos)
Uma particula de massa m=20,0 \mathrm{~kg} desliza sem atrito num plano horizontal (x y) com velocidade \overline{\tau_{0}}=(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \bar{i} (onde i e j correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Em um certo instante, a partícula explode, partindo-se em dols pedaços. O primeiro pedaço, de massa 5,0 \mathrm{~kg}, move-se entăo com velocidade \vec{i}_{1}=(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i}+(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{j}. O segundo pedaço, de massa 15,0 \mathrm{~kg}, move-se com velocidade \vec{i}_{2}.
a) (1,0) Expresse \bar{i}_{2} em termos dos vetores unitários.
b) (1,0) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosâo em termos dos vetores unitários.
c) (0,5) Calcule a variaçăo de energia mecánica \Delta E_{\mathrm{m}} que ocorreu por causa da explosảo. Interprete fisicamente o sinal de \Delta E_{m}.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e perguntas. Dados: \,m=20{,}0\\ \mathrm{kg} é a massa inicial da partícula. \,\vec v_0=(10\\ \mathrm{m/s})\,\vec i é a velocidade antes da explosão.
A partícula se parte em dois pedaços: \,m_1=5{,}0\\ \mathrm{kg} com \,\vec v_1=(5{,}0\\ \mathrm{m/s})\,\vec i+(5{,}0\\ \mathrm{m/s})\,\vec j. \,m_2=15{,}0\\ \mathrm{kg} com \,\vec v_2 desconhecida.
Perguntas:
a) Expresse \vec v_2 em termos de \vec i e \vec j.
b) Expresse a velocidade do centro de massa após a explosão em termos de \vec i e \vec j.
c) Calcule a variação da energia mecânica \Delta E_{\mathrm{m}} causada pela explosão e interprete o sinal.
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): quando não há forças externas impulsivas no instante da explosão no plano horizontal, o momento linear total do sistema é conservado. A conservação de momento diz que a soma dos momentos antes é igual à soma depois:
Interpretação física do sinal: \Delta E_{\mathrm{m}}>0, ou seja, a energia cinética aumentou. Isso ocorre porque na explosão houve conversão de energia interna (por exemplo energia química) em energia cinética dos fragmentos. A conservação do momento linear não impede aumento (ou diminuição) da energia cinética quando há forças internas que realizam trabalho.
Resposta
\vec v_2=\dfrac{35}{3}\,\vec i-\dfrac{5}{3}\,\vec j\\ \mathrm{(m/s)} \vec v_{\mathrm{cm}}=(10\\ \mathrm{m/s})\,\vec i \Delta E_{\mathrm{m}}=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{J}\\ (\approx166{,}67\\ \mathrm{J}),\\ \text{positivo: energia interna foi convertida em energia cinética}é