Qual é o trabalho realizado por uma força elétrica ao mover uma carga de um ponto a outro no campo de uma carga pontual? Qual é a fórmula para calcular o trabalho em relação à posição da carga e a distância entre os pontos?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber qual é o trabalho que a força elétrica faz ao mover uma carga de um ponto A até um ponto B no campo gerado por uma carga pontual Q. Isso é um problema clássico de eletrostática: a gente vai usar a força de Coulomb e calcular o trabalho como uma integral dessa força ao longo do caminho. Para isso, precisamos saber
  • A expressão da força de Coulomb:
  • A definição de trabalho de uma força conservativa:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da força de Coulomb entre as cargas Q (fixa, gerando o campo) e q (que se move):
F(r) ;=; k,Q,qr^2,r
Aqui Fcdot dr ;=; l|F(r)r|;dr ;=; k,Q,qr^2,dr é a distância entre as cargas e é o vetor unitário radial. Como o movimento é radial (saindo de até ), o produto escalar fica simplesmente
porque .

Passo 3

Agora é só integrar de W = integralri^rf k,Q,qr^2,dr = k,Q,q integralri^rf r^-2,dr (distância inicial) até W = k,Q,q l[-tfrac1rr]ri^rf = k,Q,q l(-tfrac1rf+tfrac1rir) = k,Q,q, l(tfrac1ri-tfrac1rfr) (distância final):
[
W

\int_{r_i}^{r_f} k,\frac{Q,q}{r^2},dr

k,Q,q
\int_{r_i}^{r_f} r^{-2},dr
]
E como , a gente acha
[
W

k,Q,q
\Bigl[-\tfrac{1}{r}\Bigr]_{r_i}^{r_f}

k,Q,q
\Bigl(-\tfrac{1}{r_f}+\tfrac{1}{r_i}\Bigr)

k,Q,q,
\Bigl(\tfrac{1}{r_i}-\tfrac{1}{r_f}\Bigr).
]

Resposta

boxedW ;=; k,Q,q;l(tfrac1ri-tfrac1rfr)

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