Qual é o trabalho realizado por uma força elétrica ao mover uma carga de um ponto a outro no campo de um fio finito carregado uniformemente? Qual é a fórmula para calcular o trabalho nesse caso?

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: “Qual o trabalho feito pela força elétrica ao levar uma carga q de um ponto A a um ponto B no campo gerado por um fio reto, de comprimento finito L, carregado com densidade linear λ?”
Conteúdo: eletrostática – relação entre trabalho e potencial elétrico; potencial criado por um fio finito.
O que vamos usar:
  1. Trabalho por força conservativa:
    W = q·[V(B) – V(A)]
  2. A expressão do potencial V® num ponto a distância r da reta do fio finito.

Passo 2

Primeiro, lembra que o campo elétrico de um fio finito não é tão simples quanto o de um fio infinito, mas, por ser conservativo, a gente trabalha com potencial:
V® = – ∫∞ᵣ E·dr
e depois obtém o trabalho W movendo q de A (r₁) a B (r₂) como
W = q [V(r₂) – V(r₁)].
Então nosso “plano” é:
a) achar V® para o fio finito;
b) usar ΔV = V(r₂)–V(r₁);
c) multiplicar por q.

Passo 3

Vamos encontrar V®. Considere o fio de comprimento L centrado na origem, com λ constante, e um ponto P no plano perpendicular ao meio do fio, a distância r do fio.
  1. O campo radial em P é
    E® = (1/(4πε₀))·(λ/r)·[L / √((L/2)² + r²)]
    → esse L/√((L/2)²+r²) vem da soma das contribuições das duas “pontas” do fio.
  2. Agora V® = – ∫∞ᵣ E(r′) dr′:
    V® = – ∫∞ᵣ (λ/(4πε₀))·(1/r′)·[L/√((L/2)² + r′²)] dr′.
    Fazendo a integral (é um ln disfarçado), chega-se a:
    V® = (λ/(4πε₀)) · ln ⎡(√((L/2)² + r²) + L/2) / (√((L/2)² + r²) – L/2)⎤

Passo 4

Agora, se queremos levar a carga q de r₁ (ponto A) até r₂ (ponto B), o trabalho da força elétrica é
W = q·[V(r₂) – V(r₁)]
Substituindo V®:
W = (qλ/(4πε₀)) · { ln ⎡(√((L/2)² + r₂²) + L/2) / (√((L/2)² + r₂²) – L/2)⎤
– ln ⎡(√((L/2)² + r₁²) + L/2) / (√((L/2)² + r₁²) – L/2)⎤ }
E usando propriedade de log: diferença vira quociente.

Resposta

O trabalho que a força elétrica faz ao mover a carga q de distância r₁ a r₂ do fio de comprimento L é

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