Qual o trabalho realizado pela força
sobre uma partícula que dá uma volta completa na circunferência
no sentido anti-horário?
unidades de energia
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força
quando a partícula percorre uma volta completa na circunferência
no sentido anti-horário. Informações dadas e perguntas claras:
- Força:
. - Curva fechada
: circunferência centrada em com raio , descrita no sentido anti-horário. - Pergunta: calcular o trabalho
.
Passo 2
Recordando o que significa “trabalho” nesta situação: o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva
é a integral de linha
onde
e
. Aqui
. A integral é sobre a curva fechada
.
Passo 3
Verificar se a campo é conservativo (às vezes facilita muito): um campo planar
é conservativo se
num domínio adequado. Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, o campo não é conservativo. Logo não podemos simplesmente achar uma função potencial; precisamos integrar de outro modo.
Passo 4
Como a curva
é simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário = orientação positiva), é conveniente aplicar o Teorema de Green. Enunciado do Teorema de Green (versão planar usada aqui):
onde
é a região interior a
.
Passo 5
Aplicar o integrando de Green ao nosso caso: já calculamos
e
. Portanto o integrando é
Assim
onde
é o disco
.
Passo 6
Para facilitar a integral sobre o disco, faça uma mudança de coordenadas por translação: defina
Então a região
torna-se o disco padrão
. O diferencial de área não muda (
). Em termos de
temos
Passo 7
Substituindo na integral:
Separe a integral em duas partes:
Passo 8
Avaliar cada termo:
- O primeiro termo
é zero por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo e a função é ímpar em , então as contribuições positivas e negativas se cancelam. - O segundo termo
é simplesmente a área do disco de raio , que vale .
Passo 9
Somando as parcelas:
Portanto o trabalho realizado pela força ao percorrer uma volta completa na circunferência no sentido anti-horário é
.