Qual o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j} sobre uma partícula que dá uma volta completa na circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 no sentido anti-horário? R: \pi unidades de energia

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}+x y\,\vec{j} quando a partícula percorre uma volta completa na circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 no sentido anti-horário. Informações dadas e perguntas claras:
  • Força: \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}+x y\,\vec{j}.
  • Curva fechada C: circunferência centrada em (1,1) com raio 1, descrita no sentido anti-horário.
  • Pergunta: calcular o trabalho W=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Recordando o que significa “trabalho” nesta situação: o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva C é a integral de linha
W=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy,
onde P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=x y. Aqui d\vec{r}=(dx,dy). A integral é sobre a curva fechada C.

Passo 3

Verificar se a campo é conservativo (às vezes facilita muito): um campo planar (P,Q) é conservativo se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} num domínio adequado. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Como 0\neq y em geral, o campo não é conservativo. Logo não podemos simplesmente achar uma função potencial; precisamos integrar de outro modo.

Passo 4

Como a curva C é simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário = orientação positiva), é conveniente aplicar o Teorema de Green. Enunciado do Teorema de Green (versão planar usada aqui):
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA,
onde D é a região interior a C.

Passo 5

Aplicar o integrando de Green ao nosso caso: já calculamos \dfrac{\partial Q}{\partial x}=y e \dfrac{\partial P}{\partial y}=0. Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y.
Assim
W=\iint_{D} y\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le 1\}.

Passo 6

Para facilitar a integral sobre o disco, faça uma mudança de coordenadas por translação: defina
u=x-1,\qquad v=y-1.
Então a região D torna-se o disco padrão u^{2}+v^{2}\le 1. O diferencial de área não muda ( dA=du\,dv). Em termos de (u,v) temos
y=v+1.

Passo 7

Substituindo na integral:
W=\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (v+1)\,du\,dv.
Separe a integral em duas partes:
W=\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v\,du\,dv+\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\,du\,dv.

Passo 8

Avaliar cada termo:
  • O primeiro termo \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v\,du\,dv é zero por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo u e a função v é ímpar em v, então as contribuições positivas e negativas se cancelam.
  • O segundo termo \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\,du\,dv é simplesmente a área do disco de raio 1, que vale \pi.

Passo 9

Somando as parcelas:
W=0+\pi=\pi.
Portanto o trabalho realizado pela força ao percorrer uma volta completa na circunferência no sentido anti-horário é \pi.

Resposta

\pi unidades de energia

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