Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda (multiplicando
) é . - A curva está parametrizada por
no intervalo . - O que se pede é o valor numérico da integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Regra prática e ideia: quando a integral de linha envolve apenas a diferencial
, e a curva está parametrizada por
, substituímos
por
e usamos
. Em fórmula:
Explicando por que: a integral de linha é uma soma ao longo da curva; parametrize a curva por
, a variação infinitesimal em
é
, e a função que multiplica
é avaliada nos pontos da curva.
Passo 3
Agora aplico a parametrização explicitamente.
Calcule
:
Avalio
:
Multiplicando por
para obter o integrando em
:
Portanto a integral original vira a integral de uma função de
:
Passo 4
Resolver a integral
.
Uso a substituição
. Então
Assim
.
Mudança dos limites: quando
tem
; quando
tem
.
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 5
Interpretação final e dica rápida: o integrando em
era proporcional a
, que é conveniente porque a derivada de
dá um fator
, permitindo a substituição direta. Em provas, sempre procure padrões onde a função exponencial tem um polinômio cujo derivado aparece multiplicando — aí cai direitinho a substituição de variável.