Calcule a integral de linha onde \gamma é a curva dada:
\int_{\gamma} x y e^{y z} d y, \gamma: x=t, y=t^{2}, z=t^{3}, 0 \leq t \leq 1$.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} x y e^{y z}\, dy,
onde a curva \gamma é dada pela parametrização
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad z(t)=t^{3},\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda (multiplicando dy) é x y e^{y z}.
  • A curva está parametrizada por t no intervalo [0,1].
  • O que se pede é o valor numérico da integral de linha ao longo de \gamma.

Passo 2

Regra prática e ideia: quando a integral de linha envolve apenas a diferencial dy, e a curva está parametrizada por t, substituímos x,y,z por x(t),y(t),z(t) e usamos dy = y'(t)\,dt. Em fórmula:
\int_{\gamma} x y e^{y z}\, dy = \int_{t=0}^{t=1} \bigl[x(t)\,y(t)\,e^{y(t)z(t)}\bigr]\;y'(t)\,dt.
Explicando por que: a integral de linha é uma soma ao longo da curva; parametrize a curva por t, a variação infinitesimal em y é dy = \dfrac{d}{dt}y(t)\,dt, e a função que multiplica dy é avaliada nos pontos da curva.

Passo 3

Agora aplico a parametrização explicitamente.
Calcule y'(t):
y(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2t.
Avalio x(t)\,y(t)\,e^{y(t)z(t)}:
x(t)\,y(t)\,e^{y(t)z(t)} = t\cdot t^{2}\cdot e^{(t^{2})(t^{3})} = t^{3} e^{t^{5}}.
Multiplicando por y'(t) para obter o integrando em t:
\bigl[x(t)\,y(t)\,e^{y(t)z(t)}\bigr]\,y'(t) = t^{3} e^{t^{5}}\cdot 2t = 2 t^{4} e^{t^{5}}.
Portanto a integral original vira a integral de uma função de t:
\int_{\gamma} x y e^{y z}\, dy = \int_{0}^{1} 2 t^{4} e^{t^{5}}\, dt.

Passo 4

Resolver a integral \displaystyle \int_{0}^{1} 2 t^{4} e^{t^{5}}\, dt.
Uso a substituição u = t^{5}. Então
du = 5 t^{4}\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{4}\,dt = \frac{1}{5}\,du.
Assim 2 t^{4}\,dt = \dfrac{2}{5}\,du.
Mudança dos limites: quando t=0 tem u=0^{5}=0; quando t=1 tem u=1^{5}=1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} 2 t^{4} e^{t^{5}}\, dt = \int_{u=0}^{u=1} \frac{2}{5} e^{u}\, du = \frac{2}{5}\int_{0}^{1} e^{u}\, du.
Integrando e^{u}:
\frac{2}{5}\int_{0}^{1} e^{u}\, du = \frac{2}{5}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{2}{5}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac{2}{5}\bigl(e-1\bigr).

Passo 5

Interpretação final e dica rápida: o integrando em t era proporcional a t^{4}e^{t^{5}}, que é conveniente porque a derivada de t^{5} dá um fator 5t^{4}, permitindo a substituição direta. Em provas, sempre procure padrões onde a função exponencial tem um polinômio cujo derivado aparece multiplicando — aí cai direitinho a substituição de variável.

Resposta

\dfrac{2}{5}\bigl(e-1\bigr)

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