Calcule a integral de linha onde \gamma é a curva dada:
\int_{\gamma} x^{2} d x+y^{2} d y, \gamma o caminho suave por partes que consiste na porção da circunferência x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2) e do segmento de reta de (0,2) a (-2,0).

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy,
onde \gamma é o caminho suave por partes formado por duas porções:
  • a porção da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, que vai de (2,0) até (0,2);
  • o segmento de reta que vai de (0,2) até (-2,0).
Pontos importantes fornecidos:
  • Ponto inicial da curva inteira: (2,0).
  • Ponto intermediário: (0,2).
  • Ponto final da curva inteira: (-2,0).
  • A forma diferencial a integrar é P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}.

Passo 2

O que é essa integral e uma ideia útil para simplificar: estamos integrando a 1-forma \omega = P\,dx+Q\,dy ao longo de um caminho. Uma situação muito conveniente é quando \omega é exata (ou seja, existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=\omega). Se \omega for exata em um domínio simplesmente conexo (como todo \mathbb{R}^{2}), então a integral entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final:
\int_{\gamma} \omega = F(\text{ponto final})-F(\text{ponto inicial}).
Regra prática para verificar exatidão (para campos P\,dx+Q\,dy com P,Q com derivadas parciais contínuas):
\text{se } \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\text{ então a forma é exata (em regiões simplesmente conexas).}ãéõ
Aqui P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 0.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0, a 1-forma é exata em \mathbb{R}^{2}. Portanto existe função potencial global F e a integral depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Vamos encontrar explicitamente a função potencial F(x,y) tal que dF = x^{2}\,dx + y^{2}\,dy.
Integramos P=x^{2} em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x^{3} + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.
Agora diferenciamos F em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial F}{\partial y} = g'(y) \stackrel{!}{=} Q(x,y)=y^{2}.
Daí g'(y)=y^{2}, logo
g(y)=\int y^{2}\,dy = \tfrac{1}{3}y^{3} + C.
Podemos absorver a constante C (não afeta diferenças de F). Assim escolhemos a função potencial
F(x,y)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{3}y^{3}.

Passo 4

Pelo teorema para formas exatas, a integral ao longo de \gamma desde o ponto inicial (2,0) até o ponto final (-2,0) vale
\int_{\gamma} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = F(-2,0)-F(2,0).
Calculamos F nos pontos (lembrando de escrever os números em notação TeX):
F(2,0)=\tfrac{1}{3}\,2^{3}+\tfrac{1}{3}\,0^{3}=\tfrac{8}{3}, \qquad F(-2,0)=\tfrac{1}{3}\,(-2)^{3}+\tfrac{1}{3}\,0^{3}=\tfrac{-8}{3}.
Portanto
\int_{\gamma} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = \tfrac{-8}{3} - \tfrac{8}{3} = -\tfrac{16}{3}.

Passo 5

(Faixa de verificação — como seria fazendo por parametrização direta das duas partes; não é necessário para a resposta, mas serve de treino e para ver como aplicar parâmetros na prova.)
Parte 1: arco da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2). Parametrização:
\mathbf{r}_{1}(t)=(2\cos t,\,2\sin t),\qquad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Então dx=-2\sin t\,dt e dy=2\cos t\,dt. O integrando fica
x^{2}\,dx+y^{2}\,dy = 4\cos^{2}t(-2\sin t\,dt) + 4\sin^{2}t(2\cos t\,dt).
Simplificando e integrando de 0 a \tfrac{\pi}{2} obtém-se (passo a passo)
\int_{0}^{\pi/2} 8\big(\sin^{2}t\cos t - \cos^{2}t\sin t\big)\,dt = \frac{8}{3}\big(\sin^{3}t+\cos^{3}t\big)\Big|_{0}^{\pi/2}=0.
Logo a contribuição do arco é 0.
Parte 2: segmento de reta de (0,2) a (-2,0). Parametrização linear:
\mathbf{r}_{2}(s)=(-2s,\;2(1-s)),\qquad s\in[0,1].
Então dx=-2\,ds, dy=-2\,ds. Temos x^{2}=4s^{2}, y^{2}=4(1-s)^{2}. O integrando é
x^{2}\,dx+y^{2}\,dy = -8\big(s^{2}+(1-s)^{2}\big)\,ds.
Integrando s de 0 a 1:
\int_{0}^{1} -8\big(2s^{2}-2s+1\big)\,ds = -\tfrac{16}{3}.
Somando as duas partes (arco 0 + segmento -\tfrac{16}{3}) confirma o resultado -\tfrac{16}{3}.

Resposta

-\tfrac{16}{3}

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