Calcule a integral de linha onde \gamma é a curva dada: \int_{\gamma} x^{2} d x+y^{2} d y, \gamma o caminho suave por partes que consiste na porção da circunferência x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2) e do segmento de reta de (0,2) a (-2,0).
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy,
onde \gamma é o caminho suave por partes formado por duas porções:
a porção da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, que vai de (2,0) até (0,2);
o segmento de reta que vai de (0,2) até (-2,0).
Pontos importantes fornecidos:
Ponto inicial da curva inteira: (2,0).
Ponto intermediário: (0,2).
Ponto final da curva inteira: (-2,0).
A forma diferencial a integrar é P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}.
Passo 2
O que é essa integral e uma ideia útil para simplificar: estamos integrando a 1-forma \omega = P\,dx+Q\,dy ao longo de um caminho. Uma situação muito conveniente é quando \omega é exata (ou seja, existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=\omega). Se \omega for exata em um domínio simplesmente conexo (como todo \mathbb{R}^{2}), então a integral entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final:
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0, a 1-forma é exata em \mathbb{R}^{2}. Portanto existe função potencial global F e a integral depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Vamos encontrar explicitamente a função potencial F(x,y) tal que dF = x^{2}\,dx + y^{2}\,dy.
Integramos P=x^{2} em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x^{3} + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.
Agora diferenciamos F em relação a y e igualamos a Q:
(Faixa de verificação — como seria fazendo por parametrização direta das duas partes; não é necessário para a resposta, mas serve de treino e para ver como aplicar parâmetros na prova.)
Parte 1: arco da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2). Parametrização: